2021集美大學高等代數(shù)研究生考試大綱 正文

考試科目代碼：[805]

考試科目名稱：高等代數(shù)

 

一、考核目標

（一）考查考生對高等代數(shù)的基本概念、主要理論、重要方法的理解與掌握程度。

（二）考查考生的數(shù)學抽象思維、邏輯推理及運算求解能力，提高分析問題、解決問題能力。

 

二、試卷結(jié)構(gòu)

（一）考試時間：180分鐘，滿分：150分。

（二）題型結(jié)構(gòu)

1、填空題：6小題，每小題5分，共30分。

2、解答題（含證明題）：7小題，每小題15或20分，共120分。

 

三、答題方式

閉卷筆試。

 

四、考試內(nèi)容

注：以下各章分值為參考分，允許有5分的上下浮動。

（一）多項式，20分

考試內(nèi)容：

整除理論、因式分解理論、根的理論。

考試要求：

1、理解帶余除法、整除、最大公因式、互素、重因式、根等有關(guān)結(jié)論。

2、掌握互素的證明、不可約的判別、綜合除法、最大公因式、重因式、標準分解式與有理根的求法。

3、了解矩陣或線性變換的多項式。

（二）行列式與線性方程組，20分

考試內(nèi)容：

行列式的計算、線性方程組解的理論。

考試要求：

1、理解行列式概念，掌握行列式的常用計算方法；熟悉行列式與方程組、可逆矩陣、矩陣秩、二次型、特征值等的關(guān)系。

2、理解線性方程組解的求法、判定與結(jié)構(gòu)，掌握含參數(shù)線性方程組的討論與求解，理解齊次方程組的基礎(chǔ)解系或解空間與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系。

（三）矩陣，20分

考試內(nèi)容：

矩陣的運算、矩陣的秩與矩陣的分解、分塊矩陣及其初等變換的應(yīng)用。

考試要求：

1、掌握矩陣的各種運算、矩陣的秩、可逆矩陣。

2、理解初等矩陣與初等變換的關(guān)系、分塊矩陣及其應(yīng)用，了解矩陣分解。

3、掌握重要知識點聯(lián)系及其逆否命題：

元齊次方程組有非零解的列向量組線性相關(guān)方陣不可逆方陣含有零特征值，等等。

（四）二次型，20分

考試內(nèi)容：

標準形與規(guī)范形、正定問題。

考試要求：

1、掌握化二次型為標準形或規(guī)范形的方法、正定問題的判定與證明。

2、了解合同、負定、半正定的概念。

（五）線性空間，20分

考試內(nèi)容：

向量組的線性相關(guān)性、基、維數(shù)和坐標、子空間的和與直和。

考試要求：

1、了解線性空間的概念、性質(zhì)以及同構(gòu)思想。

2、理解向量組線性無關(guān)的常規(guī)證法，基與維數(shù)的求法與證明。

3、掌握子空間直和的證明。

（六）線性變換，20分

考試內(nèi)容：

線性變換的概念、線性變換的矩陣、相似、特征值特征向量與對角化、值域、核與不變子空間。

考試要求：

1、了解線性變換與方陣的同構(gòu)對應(yīng)關(guān)系。

2、理解線性變換、值域與核、不變子空間的概念。

3、會求線性變換在基下的矩陣，熟悉相似的概念與性質(zhì)。

4、掌握特征值與特征向量的求法與證明，對角化問題的判別與討論；區(qū)別線性變換與方陣的特征向量、對角化問題。

（七）Jordan標準形，10分

考試內(nèi)容：

最小多項式、Jordan標準形。

考試要求：

1、了解不變因子、初等因子的求法以及與矩陣相似的關(guān)系。

2、理解最小多項式的概念與基本性質(zhì)，掌握最小多項式、Jordan標準形的求法與應(yīng)用。

（八）歐氏空間，20分

考試內(nèi)容：

內(nèi)積與標準正交基、正交變換和對稱變換。

考試要求：

1、了解歐氏空間、正交補的概念，理解標準正交基的性質(zhì)及其求法。

2、理解正交變換和對稱變換的主要特征及相關(guān)證明，

3、掌握實對稱矩陣的正交相似對角化的計算，利用實對稱矩陣性質(zhì)進一步討論正定問題。

 

五、主要參考書目

（一）王萼芳，石生明主編：《高等代數(shù)》（第四版），高等教育出版社，2013版。

（二）徐仲等主編：《高等代數(shù)導教導學導考》，西北工業(yè)大學出版社，2004版。

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