鄭州輕工業(yè)大學(xué)

    2021年碩士研究生入學(xué)考試初試科目考試大綱常微分方程（科目代碼：821）

    本考試大綱適用于報(bào)考鄭州輕工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)和電子信息專業(yè)學(xué)位的碩士研究生的入學(xué)考試。

    一、考試內(nèi)容及基本要求1．初等積分法

    （1）基本概念（類型、階、線性，非線性、特解、通解、初始條件、初值問題）

    （2）分離變量方程、齊次方程

    （3）線性方程、常數(shù)變易法Bernoulli方程

    （4）全微分方程與積分因子

    （5）其它可積的一階隱式方程與高階方程

    基本要求：能辨別方程的類型及特點(diǎn)；熟練掌握各類一階微分方程的解法。

    2.微分方程基本理論

    （1）存在性與唯一性定理的敘述

    （2）解的存在性與唯一性定理（逐次逼近法，壓縮映象原理）

    （3）解的延拓（只對定理說明）

    （4）奇解與包絡(luò)

    （5）解的初始值的連續(xù)相依性

    基本要求：理解解的存在唯一性定理，能夠構(gòu)造皮卡序列求近似解。

    3.高階線性微分方程

    （1）存在性與唯一性定理的敘述

    （2）函數(shù)的線性相關(guān)性、Wronski行列式

    （3）n階線性齊次方程與非齊次方程通解結(jié)構(gòu)，Liouville公式，常數(shù)變易法

    （4）常系數(shù)線性方程通解求法

    （5）Laplace變換

    （6）冪級數(shù)解法大意

    基本要求：能利用Wronski行列式判別函數(shù)的線性相關(guān)性；了解齊次與非齊次方程解的結(jié)構(gòu)；熟練掌握常系數(shù)高階微分方程的解法及利用常數(shù)變易法求特解的方法；了解利用Laplace變換及冪級數(shù)求解方程的方法。

    4.微分方程組

    （1）一般概念

    （2）向量與矩陣

    （3）解的存在性與唯一性定理

    （4）線性齊次方程與非齊次方程的解的性質(zhì)，通解結(jié)構(gòu)，常數(shù)變易法

    （5）常系數(shù)線性方程組特征方程。

    基本要求：熟練掌握常系數(shù)微分方程組求解基解矩陣的方法。

    5.定性與穩(wěn)定性理論簡介

    （1）李雅普諾夫穩(wěn)定性概念

    （2）李雅普諾夫直接方法（V函數(shù)、穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定）基本要求：理解穩(wěn)定性定義；能利用V函數(shù)法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

    二、試卷題型結(jié)構(gòu)

    主要題型：填空題（20分），計(jì)算題（100分），證明題（30分）三、試卷分值及考試時(shí)間

    考試時(shí)間180分鐘，滿分150分。

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