2021中國(guó)石油大學(xué)(華東)數(shù)學(xué)研究生考試大綱

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2021中國(guó)石油大學(xué)(華東)數(shù)學(xué)研究生考試大綱

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2021中國(guó)石油大學(xué)(華東)數(shù)學(xué)研究生考試大綱 正文

1
碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(單獨(dú)考試)大綱
一、考試要求
1.函數(shù)、極限、連續(xù)
①理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的表示法,并會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函
數(shù)關(guān)系。
②了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。
③理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念,了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。
④掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形,了解初等函數(shù)的概念。
⑤理解極限的概念,理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極
限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系。
⑥掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。
⑦掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則,并會(huì)利用它們求極限,掌握利用兩
個(gè)重要極限求極限的方法。
⑧理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念,掌握無(wú)窮小量的比較方法,
會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限。
⑨理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù)),會(huì)判別函數(shù)間斷
點(diǎn)的類(lèi)型。
⑩了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,理解閉區(qū)間上連續(xù)
函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并會(huì)應(yīng)用這
些性質(zhì)。
2.一元函數(shù)微分學(xué)
①理解導(dǎo)數(shù)和微努的概念,理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,理解導(dǎo)數(shù)的
幾何意義,會(huì)求平面面曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程,了解導(dǎo)數(shù)的物理
意義,會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量,理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的2
關(guān)系。
②掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,掌握基本初
等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變
性,會(huì)求函數(shù)的微分。
③了解高階導(dǎo)數(shù)的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
④會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù),會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)
以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
⑤理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和
泰勒(Taylor)定理,了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理。
⑥掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。
⑦理解函數(shù)的極值概念,掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)
極值的方法,掌握函數(shù)的最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。
⑧會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性,會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水
平、鉛直和斜漸近線(xiàn),會(huì)描繪函數(shù)的圖形。
⑨了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念,會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。
3.一元函數(shù)積分學(xué)
①理解原函數(shù)的概念,理解不定積分和定積分的概念。
②掌握不定積分的基本公式,掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積
分中值定理,掌握換元積分法與分部積分法。
③會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。
④理解積分上限的函數(shù),會(huì)求它的導(dǎo)數(shù),掌握牛頓一萊布尼茨公式。
⑤掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、
平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立
體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等)及函數(shù)平均值。
4.多元函數(shù)微積分學(xué) (n) " '
y f (x),y (x) f (x,y )
? ?
" '
y f (x,y )
?
3
①了解多元函數(shù)的概念,了解二元函數(shù)的幾何意義。
②了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念,了解有界閉區(qū)域上二元函數(shù)
的性質(zhì)。
③了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念,會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、
二階偏導(dǎo)數(shù),會(huì)求全微分,了解隱函數(shù)存在定理,會(huì)求多元隱函數(shù)的
偏導(dǎo)數(shù)。
④了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念,掌握多元函數(shù)極值存在的
必要條件,了解二元函數(shù)極值存在的充分條件,會(huì)用二元函數(shù)的極值,
掌握用拉格朗日乘子法求條件極值的方法,能夠求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最
大值和最小值,能夠解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。
⑤了解二重積分的概念和基本性質(zhì),掌握二重積分的計(jì)算方法-直
角坐標(biāo)方法和極坐標(biāo)方法。
5.常微分方程
①了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
②掌握變量可分離的微分方程及一階線(xiàn)性微分方程的解法,會(huì)解齊
次微分方程。
③會(huì)用降階法解下列形式的微分方程:
。
④理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。
⑤掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的解法,并會(huì)解某些高于二
階的常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程。
⑥會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它
們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程。
⑦會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。
6.行列式 ①了解行列式的概念,掌握行列式的性質(zhì)。
②會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開(kāi)定理計(jì)算行列式。
7.矩陣
①理解矩陣的概念,了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩
陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣和正交矩陣以及它們的性質(zhì)。
②掌握矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律,了解方
陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)。
③理解逆矩陣的概念,掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要
條件.理解伴隨矩陣的概念,會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。
④了解矩陣初等變換的概念,了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概
念,理解矩陣的秩的概念,掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方
法。
⑤了解分塊矩陣及其運(yùn)算。
8.向量
①理解 n 維向量、向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示的概念。
②理解向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念,掌握向量組線(xiàn)性相關(guān)、
線(xiàn)性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。
③了解向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念,會(huì)求向量組
的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組及秩。
④了解向量組等價(jià)的概念,了解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩的
關(guān)系。
⑤了解內(nèi)積的概念,掌握線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特
(Schmidt)方法。
9.線(xiàn)性方程組
①會(huì)用克拉默法則求解線(xiàn)性方程組。
4x
x 0 x
sin x 1
lim 1,lim 1 e
x x
? ??
? ?
? ? ?
? ?
? ?
②理解齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線(xiàn)性方
程組有解的充分必要條件。
③理解齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系及通解的概念,掌握齊次線(xiàn)性方
程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。
④理解非齊次線(xiàn)性方程組色解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。
⑤會(huì)用初等變換求解線(xiàn)性方程組。
10.矩陣的特征值和特征向量
①理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì),會(huì)求矩陣的特征值
和特征向量。
②理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件,
會(huì)將矩陣化為相似對(duì)角矩陣。
③理解實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。
二、考試內(nèi)容
1.函數(shù)、極限、連續(xù)
函數(shù)的概念及表示法:函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性,
復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù),基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖
形,初等函數(shù),函數(shù)關(guān)系的建立。
數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì),函數(shù)的左極限與右極限。
無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系。無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小
量的比較,極限的四則運(yùn)算。極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則:?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和
夾逼準(zhǔn)則。兩個(gè)重要極限:
函數(shù)連續(xù)的概念,函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型,初等函數(shù)的連續(xù)性,閉區(qū)
間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
2.一元函數(shù)微分學(xué)
5導(dǎo)數(shù)和微分的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義,函數(shù)的可導(dǎo)性與
連續(xù)性之間的關(guān)系,平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn),導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算,
基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確
定的函數(shù)的微分法。高階導(dǎo)數(shù),一階微分形式的不變性,微分中值定
理,洛必達(dá)(L'HoSpital)法則。函數(shù)單調(diào)性的判別,函數(shù)的極值,函
數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(xiàn)。函數(shù)圖形的描繪,函數(shù)的最大值與
最小值,弧微分曲率的概念,曲率圓與曲率半徑。
3.一元函數(shù)積分學(xué)
原函數(shù)和不定積分的概念,不定積分的基本性質(zhì),基本積分公式.
定積分的概念和基本性質(zhì),定積分中值定理,積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)
數(shù),牛頓一萊布尼茨(Newton—Leibniz)公式,不定積分和定積分的換
元積分法與分部積分法,有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函
數(shù)的積分,定積分的應(yīng)用。
4.常微分方程
常微分方程的基本概念,變量可分離的微分方程,齊次微分方程。
一階線(xiàn)性微分方程,可降階的高階微分方程。線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)
及解的結(jié)構(gòu)定理,二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程,高于二階的某此常
系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程,簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程。
5.多元函數(shù)微積分學(xué)
多元函數(shù)的概念,二元函數(shù)的幾何意義。二元函數(shù)的極限與連續(xù)的
概念,有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微
分,多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法。二階偏導(dǎo)數(shù),多元函數(shù)的極值
和條件極值、最大值和最小值。二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算。
6.行列式
行列式的概念和基本性質(zhì),行列式按行(列)展開(kāi)定理。
67.矩陣
矩陣的概念,矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算,矩陣的乘法,方陣的冪,方陣乘積
的行列式,矩陣的轉(zhuǎn)置。逆矩陣的概念和性質(zhì),矩陣可逆的充分必要條
件,伴隨矩陣,矩陣的初等變換,初等矩陣,矩陣的秩,矩陣的等價(jià),
分塊矩陣及其運(yùn)算。
8.向量
向量的概念,向量的線(xiàn)性組合和線(xiàn)性表示,向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)
性無(wú)關(guān)。向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組,等價(jià)向量組。向量組的秩,向量
組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系。向量的內(nèi)積,線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的正交
規(guī)范化方法。
9.線(xiàn)性方程組
線(xiàn)性方程組的克拉默(Cramer)法則。齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充
分必要條件,非齊次線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件。線(xiàn)性方程組解的
性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu),齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解,非齊次線(xiàn)性方程
組的通解。
10.矩陣的特征值和特征向量
矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì),相似矩陣的概念及性質(zhì)。
矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特
征值、特征向量,實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣。
三、試卷結(jié)構(gòu):
1.考試時(shí)間:180 分鐘,滿(mǎn)分:150 分
2.題型結(jié)構(gòu):
①選擇題:1-16 小題,共 64 分;
②填空題:17-25 小題,共 36 分;
③解答題:26-30 小題,共 50 分。
7考生應(yīng)將所有答案按照要求寫(xiě)在答題紙指定的位置上,在試卷及
草稿紙上答題無(wú)效。
四、參考書(shū)目
1.《高等數(shù)學(xué)》(第七版),同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編,高等教育出版社,
2014 年
2.《線(xiàn)性代數(shù)》(第六版》同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,高等教育出版社,2014
8
中國(guó)石油大學(xué)(華東)

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