2021天津商業(yè)大學高等數(shù)學專業(yè)研究生考研考試大綱 正文

一、考試要求
《高等數(shù)學》考試是為高等院校和科研院所招收統(tǒng)計學學術(shù)碩士研究生而設(shè)置的具有
選拔性質(zhì)的考試科目。其目的是科學、公平和有效地測試考生是否具備攻讀統(tǒng)計學學術(shù)碩
士學位所必須的基本數(shù)學素質(zhì)和培養(yǎng)潛能，以便選拔具有發(fā)展?jié)摿Φ膬?yōu)秀人才入學，為國
家的經(jīng)濟建設(shè)培養(yǎng)具有良好職業(yè)道德、法制觀念和國際視野、具有較強分析問題與解決實
際問題能力的高層次統(tǒng)計專業(yè)人才。本課程考試主要測試考生掌握數(shù)學分析與高等代數(shù)基
本知識、理論與方法的水平，以及運用其解決問題的基本能力。
二、考試形式及時間
（一）考試形式：考試方式為閉卷筆試。
（二）考試時間：試卷滿分為 150 分，考試時間 180 分鐘。
三、考試內(nèi)容
數(shù)學分析部分
（一）函數(shù) 極限 連續(xù)
在理解函數(shù)、極限與連續(xù)性概念的基礎(chǔ)上，掌握極限的計算方法，理解閉區(qū)間上連續(xù)
函數(shù)的性質(zhì)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。
具體考核主要包括：
1.函數(shù)極限存在性判別及計算；
2.函數(shù)連續(xù)性討論；
3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
（二）一元函數(shù)微分學
在理解導數(shù)的概念及可導性與連續(xù)性之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公
式、導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，會求分段函數(shù)、反函數(shù)與隱函數(shù)的導數(shù)
及高階導數(shù)；了解導數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的
切線方程和法線方程；了解微分的概念、導數(shù)與微分之間的關(guān)系以及一階微分形式的不變
性，會求函數(shù)的微分；理解羅爾（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理、泰勒（Taylor）
定理及柯西（Cauchy)中值定理，并掌握其簡單應(yīng)用；掌握洛必達法則求極限、函數(shù)單調(diào)
( , ) a b ( ) f x ( ) 0 f x ?? ? ( ) f x ( ) 0 f x ?? ? ( ) f x 2
性的判別的方法，掌握函數(shù)極值、最大（小）值的求法及其應(yīng)用，會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形
的凹凸性（注：在區(qū)間 內(nèi)，設(shè)函數(shù) 具有二階導數(shù)．當 時， 的圖形
是凹的；當 時， 的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點和漸近線，會描述簡
單函數(shù)的圖形。
具體考核主要包括：
1.導數(shù)的概念、幾何意義和經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），可導性與連續(xù)性之間
的關(guān)系；
2.求導法則、高階導數(shù)；
3.微分的概念及計算方法；
4.微分中值定理（四個）及簡單應(yīng)用；
5. 洛必達法則求極限的方法；
6．函數(shù)單調(diào)性、極值、最大（小）值的求法及曲線拐點和漸近線的求法；
7．最大（?。┲档膽?yīng)用及簡單函數(shù)的圖形的描述。
（三）一元函數(shù)積分學
在理解原函數(shù)與不定積分概念的基礎(chǔ)上，掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式，
掌握不定積分的換元積分法與分部積分法；了解定積分的概念、基本性質(zhì)和解定積分中值
定理；理解積分上限的函數(shù)并會求其導數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式及定積分的換元積分
法和分部積分法；會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值以及
求解簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題；了解反常積分的概念，會計算反常積分。
具體考核主要包括：
1．原函數(shù)與不定積分的概念、不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式及計算方法（換
元積分法與分部積分法）；
2．定積分的概念、基本性質(zhì)及積分中值定理，積分上限的函數(shù)導數(shù)計算方法，定積
分的計算方法；
3．定積分的幾何應(yīng)用和利用定積分求解簡單經(jīng)濟應(yīng)用問題；
4．反常積分的計算。
（四）多元函數(shù)微分學
在理解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性、多元函數(shù)
偏導數(shù)與全微分概念的基礎(chǔ)上，掌握求多元函數(shù)偏導數(shù)（一階、二階）、全微分的方法；
了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件及二元函數(shù)極值
存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值及簡單多元函數(shù)的最大（小）值，會解決簡單的應(yīng)
p 3
用問題。
具體考核主要包括：
1．多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性及有界閉區(qū)域
上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；
2．多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念, 求多元函數(shù)（復合函數(shù)、隱函數(shù)）偏導數(shù)、全
微分的方法； 3．多元函數(shù)極值存在的必要條件及二元函數(shù)極值存在的充分條件；
4. 二元函數(shù)的極值、條件極值的求法（拉格朗日乘數(shù)法），簡單多元函數(shù)的最大（?。?br /> 值及解決簡單的應(yīng)用問題的方法。
（五）重積分
在理解二重積分的概念與基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，掌握二重積分的計算方法（直角坐標、
極坐標）；了解無界區(qū)域上較簡單的反常二重積分并會計算。
具體考核主要包括：
1．二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算方法；
2．無界區(qū)域上簡單的反常二重積分計算方法。
（六）無窮級數(shù)
在了解級數(shù)收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念以及級數(shù)收斂的必要條件的基礎(chǔ)上，掌
握幾何級數(shù)及 級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數(shù)審斂法；了解任意項級數(shù)絕對收
斂與條件收斂的概念及其關(guān)系，掌握交錯級數(shù)審斂法；會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間
及收斂域；了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積
分），會求簡單冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。
具體考核主要包括：
1．常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念及級數(shù)收斂的必要條件；
2．掌握正項級數(shù)審斂法（比較判別法、比值判別法、根值法）；
3．級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念及二者之間的關(guān)系，交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；
4．冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；
5．簡單冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)的求法，簡單初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。
（七）微分方程與差分方程
在了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念的基礎(chǔ)上，掌握變量可分
離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法；了解線性微分方程解的性
質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
4
（自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)或余弦函數(shù)）的求解方法；會用微分方程求解簡
單的經(jīng)濟應(yīng)用問題；了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，掌握一階常系數(shù)線性差
分方程的求解方法。
具體考核主要包括：
1．變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法；
2．線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；
3．二階常系數(shù)齊次、非齊次線性微分方程的求解方法；
4．一階常系數(shù)線性差分方程通解與特解的求解方法；
5．微分方程的簡單應(yīng)用。
高等代數(shù)部分
（一）行列式
了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開定理
計算行列式。
（二）矩陣
理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣及反對
稱矩陣等的定義及性質(zhì)，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置、冪、乘積的行列式及其運算
性質(zhì)，掌握逆矩陣的概念、性質(zhì)、矩陣可逆的充分必要條件及求逆矩陣的方法；理解伴隨
矩陣的概念，理解矩陣等價及矩陣秩的概念，掌握用初等變換求矩陣秩的方法；了解分塊
矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則。
具體考核主要包括：
1．矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置、冪、乘積的行列式及其運算規(guī)律；
2．逆矩陣概念、性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件及求逆矩陣的方法、矩陣方程解法；
3．矩陣的秩的概念及求秩的方法；
4. 分塊矩陣的運算法則。
（三）向量
在理解向量的線性組合與線性表示、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組的極大線
性無關(guān)組及向量組等價概念的基礎(chǔ)上，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別
法，會求向量組的極大線性無關(guān)組及秩，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)
系；了解內(nèi)積的概念，掌握線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法；掌握
正交矩陣的概念及性質(zhì)，在理解向量空間概念的基礎(chǔ)上，會求向量空間的基、維數(shù)與向量
在給定基下的坐標、基之間的過渡矩陣。
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具體考核主要包括：
1．向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法；
2．向量組的極大線性無關(guān)組、秩的求法及將剩余向量由所求極大無關(guān)組線性表示的
方法；
3．線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法；
4．向量空間的基、維數(shù)與向量在給定基下的坐標、基之間的過渡矩陣。
（四）線性方程組
理解線性方程組的克拉默（Cramer）法則的應(yīng)用條件，理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通
解的概念，掌握求解線性方程組的高斯消元法（用初等行變換求解線性方程組的方法）及
解的判定定理，理解基礎(chǔ)解系的概念并掌握基礎(chǔ)解系的求法。
具體考核主要包括：
1. 克拉默法則求解線性方程組；
2. 齊次線性方程組有非零解的判定、基礎(chǔ)解系和通解的求法；
3. 非齊次線性方程組有解和無解的判定、解的結(jié)構(gòu)及通解的求法。
（五）矩陣對角化
在理解矩陣的特征值、特征向量的概念基礎(chǔ)上，掌握矩陣特征值的性質(zhì)、求矩陣特征
值和特征向量的方法；理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)及矩陣可相似對角化的
充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法；掌握實對稱矩陣的特征值和特征向
量的性質(zhì)及其對角化的方法。
具體考核主要包括：
1.矩陣的特征值與特征向量的概念、性質(zhì)及其求法；
2.矩陣相似的概念，相似矩陣的性質(zhì)、矩陣可相似對角化的充分必要條件及將矩陣化
為相似對角矩陣的方法；
3.實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)及其對角化的方法。
（六）二次型
了解二次型及其矩陣表示，了解合同變換與合同矩陣、二次型的秩、二次型的標準形
和規(guī)范形等概念，知道慣性定理，掌握化二次型為標準型的方法；理解正定二次型、正定
矩陣的概念，掌握其判別方法。
具體考核主要包括：
1.二次型的矩陣表示，合同變換與合同矩陣的概念、慣性定理；
2.用正交變換和配方法化二次型為標準形的方法；
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3.正定二次型（正定矩陣）的判別方法。

五、參考書目
1.羅蘊玲等編著.高等數(shù)學及其應(yīng)用（第二版）.高等教育出版社，2016
2.李乃華等編著.線性代數(shù)及其應(yīng)用（第二版）.高等教育出版社,2016
3.華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析（第四版上冊）.高等教育出版社,2012
4.北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.高等代數(shù)（第三版）.高等教育出
版社,2003

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