蘇州科技大學(xué)2021年碩士研究生入學(xué)初試考試大綱

    命題學(xué)院：物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

    考試科目名稱：高等數(shù)學(xué)

    說(shuō)明：常規(guī)考試用具。

    一、考試基本要求

    本大綱適用于蘇州科技大學(xué)物理學(xué)碩士研究生入學(xué)考試。本大綱要求考核函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)和空間解析幾何、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程。要求考生對(duì)以上幾部分的基本概念有較深入的了解，掌握其基本定律、原理和定理，具有運(yùn)用這幾部分的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

    二、考試內(nèi)容和考試要求

    （一）函數(shù)、極限、連續(xù)

    考試內(nèi)容

    函數(shù)的概念及表示法;　函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性;　復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù);　基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形;　初等函數(shù);　函數(shù)關(guān)系的建立;

    數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì);　函數(shù)的左極限與右極限;　無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系;　無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較;　極限的四則運(yùn)算;　極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則;　兩個(gè)重要極限 :

    函數(shù)連續(xù)的概念;　函數(shù)間斷點(diǎn)的類型;;　初等函數(shù)的連續(xù)性　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    考試要求

    1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。

    2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

    3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

    4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

    5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

    6．掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

    7．掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

    8．理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限。

    9．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

    10．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

    （二）一元函數(shù)微分學(xué)

    考試內(nèi)容

    導(dǎo)數(shù)和微分的概念;　導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義;　函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系;　平面曲線的切線和線;　導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù);;　復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法　高階導(dǎo)數(shù)一階微分形式的不變性;　微分中值定理;　洛必達(dá)（L’Hospital）法則;　函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)的極值;　函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線;　函數(shù)圖形的描繪;　函數(shù)的最大值與最小值;　弧微分曲率的概念;　曲率圓與曲率半徑。

    考試要求

    1．理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

    2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。

    3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

    4．會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

    5．理解并會(huì)用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會(huì)用柯西（Cauchy）中值定理。

    6．掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

    7．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。

    8．會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。

    9．了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

    （三）一元函數(shù)積分學(xué)

    考試內(nèi)容

    原函數(shù)和不定積分的概念;　不定積分的基本性質(zhì);　基本積分公式;　定積分的概念和基本性質(zhì);　定積分中值定理;　積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù);　牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式;　不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法;　有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分　反常（廣義）積分;　定積分的應(yīng)用。

    考試要求

    1．理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

    2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

    3．會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。

    4．理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

    5．了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分。

    6．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等）及函數(shù)的平均值。

    （四）向量代數(shù)和空間解析幾何

    考試內(nèi)容

    向量的概念;向量的線性運(yùn)算;　向量的數(shù)量積和向量積向量的混合積;;　兩向量垂直、平行的條件;　兩向量的夾角;　向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算;　單位向量;　方向數(shù)與方向余弦;　曲面方程和空間曲線方程的概念;　平面方程直線方程;　平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件;　點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離;　球面;　柱面;　旋轉(zhuǎn)曲面;　常用的二次曲面方程及其圖形;　空間曲線的參數(shù)方程和一般方程;　空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程。

    考試要求

    1．理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。

    2．掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。

    3．理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。

    4．掌握平面方程和直線方程及其求法。

    5．會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等））解決有關(guān)問(wèn)題。

    6．會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。

    7．了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

    8．了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求簡(jiǎn)單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

    9．了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程．了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求該投影曲線的方程。

    （五）多元函數(shù)微分學(xué)

    考試內(nèi)容

    多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件、多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度、空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線、二元函數(shù)的二階泰勒公式、多元函數(shù)的極值和條件極值、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

    考試要求

    1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

    2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    3．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

    4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法。

    5．掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

    6．了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

    7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。

    8．了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

    9．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

    （六）多元函數(shù)積分學(xué)

    考試內(nèi)容

    二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用;　兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算;　兩類曲線積分的關(guān)系;　格林（Green）公式;　平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件;　二元函數(shù)全微分的原函數(shù);　兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲面積分的關(guān)系;　高斯（Gauss）公式;　斯托克斯（Stokes）公式;　散度、旋度的概念及計(jì)算曲線積分和曲面積分的應(yīng)用。

    考試要求

    1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

    2．掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。

    3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。

    4．掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。

    5．掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。

    6．了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計(jì)算曲面積分的方法，并會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分。

    7．了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。

    8．會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）。

    （七）無(wú)窮級(jí)數(shù)

    考試內(nèi)容

    常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念;收斂級(jí)數(shù)的和的概念;　級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件　幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性;　正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法;　交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理;　任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂;函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念;　冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域;　冪級(jí)數(shù)的和函數(shù);　冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法;初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù);狄利克雷（Dirichlet）定理;　函數(shù)在[-l,l]上的傅里葉級(jí)數(shù);　函數(shù)在[0,l]上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。

    考試要求

    1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

    2．掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

    3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。

    4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。

    5．了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。

    6．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

    7．理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

    8．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

    9．了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。

    10．掌握、、、和的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。

    11．了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在[-l,l]上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0,l]上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式。

    （八）常微分方程

    考試內(nèi)容

    常微分方程的基本概念;變量可分離的微分方程;　齊次微分方程;　一階線性微分方程;　伯努利（Bernoulli）方程;　全微分方程;　可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程;　可降階的高階微分方程;　線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理;　二階常系數(shù)齊次線性微分方程;　高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程;　簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程歐拉（Euler）方程;　微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

    考試要求

    1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

    2．掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

    3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。

    4．會(huì)用降階法解下列形式的微分方程：和。

    5．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)。

    6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

    7．會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

    8．會(huì)解歐拉方程。

    9．會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題

    三、考試基本題型和考試方式

    基本題型可能有：填空題、選擇題、計(jì)算題（包括證明題）等。

    考試方式：考試時(shí)間：180分鐘，滿分：150分。答題方式為筆試、閉卷。

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