蘇州科技大學2021年碩士研究生入學初試考試大綱

    命題學院：物理科學與技術(shù)學院

    考試科目名稱：高等數(shù)學

    說明：常規(guī)考試用具。

    一、考試基本要求

    本大綱適用于蘇州科技大學物理學碩士研究生入學考試。本大綱要求考核函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、向量代數(shù)和空間解析幾何、多元函數(shù)微分學、多元函數(shù)積分學、無窮級數(shù)、常微分方程。要求考生對以上幾部分的基本概念有較深入的了解，掌握其基本定律、原理和定理，具有運用這幾部分的知識分析問題和解決問題的能力。

    二、考試內(nèi)容和考試要求

    （一）函數(shù)、極限、連續(xù)

    考試內(nèi)容

    函數(shù)的概念及表示法;　函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性;　復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù);　基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形;　初等函數(shù);　函數(shù)關(guān)系的建立;

    數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì);　函數(shù)的左極限與右極限;　無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系;　無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較;　極限的四則運算;　極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和夾逼準則;　兩個重要極限 :

    函數(shù)連續(xù)的概念;　函數(shù)間斷點的類型;;　初等函數(shù)的連續(xù)性　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    考試要求

    1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題的函數(shù)關(guān)系。

    2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

    3．理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

    4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

    5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

    6．掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

    7．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

    8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。

    9．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。

    10．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質(zhì)。

    （二）一元函數(shù)微分學

    考試內(nèi)容

    導數(shù)和微分的概念;　導數(shù)的幾何意義和物理意義;　函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系;　平面曲線的切線和線;　導數(shù)和微分的四則運算基本初等函數(shù)的導數(shù);;　復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法　高階導數(shù)一階微分形式的不變性;　微分中值定理;　洛必達（L’Hospital）法則;　函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)的極值;　函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線;　函數(shù)圖形的描繪;　函數(shù)的最大值與最小值;　弧微分曲率的概念;　曲率圓與曲率半徑。

    考試要求

    1．理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關(guān)系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

    2．掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

    3．了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。

    4．會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù)。

    5．理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會用柯西（Cauchy）中值定理。

    6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

    7．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用。

    8．會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。

    9．了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

    （三）一元函數(shù)積分學

    考試內(nèi)容

    原函數(shù)和不定積分的概念;　不定積分的基本性質(zhì);　基本積分公式;　定積分的概念和基本性質(zhì);　定積分中值定理;　積分上限的函數(shù)及其導數(shù);　牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式;　不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法;　有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分　反常（廣義）積分;　定積分的應用。

    考試要求

    1．理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

    2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

    3．會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

    4．理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

    5．了解反常積分的概念，會計算反常積分。

    6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等）及函數(shù)的平均值。

    （四）向量代數(shù)和空間解析幾何

    考試內(nèi)容

    向量的概念;向量的線性運算;　向量的數(shù)量積和向量積向量的混合積;;　兩向量垂直、平行的條件;　兩向量的夾角;　向量的坐標表達式及其運算;　單位向量;　方向數(shù)與方向余弦;　曲面方程和空間曲線方程的概念;　平面方程直線方程;　平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件;　點到平面和點到直線的距離;　球面;　柱面;　旋轉(zhuǎn)曲面;　常用的二次曲面方程及其圖形;　空間曲線的參數(shù)方程和一般方程;　空間曲線在坐標面上的投影曲線方程。

    考試要求

    1．理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。

    2．掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件。

    3．理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。

    4．掌握平面方程和直線方程及其求法。

    5．會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等））解決有關(guān)問題。

    6．會求點到直線以及點到平面的距離。

    7．了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

    8．了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

    9．了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程．了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程。

    （五）多元函數(shù)微分學

    考試內(nèi)容

    多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件、多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法二階偏導數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度、空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線、二元函數(shù)的二階泰勒公式、多元函數(shù)的極值和條件極值、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用。

    考試要求

    1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

    2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    3．理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

    4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法。

    5．掌握多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法。

    6．了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)。

    7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

    8．了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

    9．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

    （六）多元函數(shù)積分學

    考試內(nèi)容

    二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計算和應用;　兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算;　兩類曲線積分的關(guān)系;　格林（Green）公式;　平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件;　二元函數(shù)全微分的原函數(shù);　兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算兩類曲面積分的關(guān)系;　高斯（Gauss）公式;　斯托克斯（Stokes）公式;　散度、旋度的概念及計算曲線積分和曲面積分的應用。

    考試要求

    1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

    2．掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。

    3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。

    4．掌握計算兩類曲線積分的方法。

    5．掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。

    6．了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分。

    7．了解散度與旋度的概念，并會計算。

    8．會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等）。

    （七）無窮級數(shù)

    考試內(nèi)容

    常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念;收斂級數(shù)的和的概念;　級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件　幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性;　正項級數(shù)收斂性的判別法;　交錯級數(shù)與萊布尼茨定理;　任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂;函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念;　冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域;　冪級數(shù)的和函數(shù);　冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法;初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級數(shù);狄利克雷（Dirichlet）定理;　函數(shù)在[-l,l]上的傅里葉級數(shù);　函數(shù)在[0,l]上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。

    考試要求

    1．理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

    2．掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

    3．掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。

    4．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。

    5．了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系。

    6．了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

    7．理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

    8．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。

    9．了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

    10．掌握、、、和的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

    11．了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在[-l,l]上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在[0,l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達式。

    （八）常微分方程

    考試內(nèi)容

    常微分方程的基本概念;變量可分離的微分方程;　齊次微分方程;　一階線性微分方程;　伯努利（Bernoulli）方程;　全微分方程;　可用簡單的變量代換求解的某些微分方程;　可降階的高階微分方程;　線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理;　二階常系數(shù)齊次線性微分方程;　高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程;　簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程歐拉（Euler）方程;　微分方程的簡單應用。

    考試要求

    1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

    2．掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

    3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。

    4．會用降階法解下列形式的微分方程：和。

    5．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)。

    6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

    7．會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

    8．會解歐拉方程。

    9．會用微分方程解決一些簡單的應用問題

    三、考試基本題型和考試方式

    基本題型可能有：填空題、選擇題、計算題（包括證明題）等。

    考試方式：考試時間：180分鐘，滿分：150分。答題方式為筆試、閉卷。

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