蘇州科技大學(xué)2021年碩士研究生入學(xué)初試考試大綱

    命題學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

    考試科目名稱：數(shù)學(xué)綜合

    說明：常規(guī)考試用具。

    一、考試基本要求

    《數(shù)學(xué)綜合》考試大綱適用于報考學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)學(xué)位碩士研究生的入學(xué)考試。本考試是為招收學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)學(xué)位碩士研究生而擬設(shè)的具有選拔功能的考試。 其主要目的是測試考生對數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)最基本內(nèi)容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)的基本理論、掌握數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)的基本方法, 具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力。

    二、考試內(nèi)容和考試要求

    (一)函數(shù)

    1.實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對值與不等式;

    2.數(shù)集：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集;

    3.函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；

    4.具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

    要求：了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史與實(shí)數(shù)的概念，理解絕對值不等式的性質(zhì)，會解絕對值不等式；弄清區(qū)間和鄰域的概念；掌握函數(shù)的定義及函數(shù)的表示法，了解函數(shù)的運(yùn)算；理解和掌握一些特殊類型的函數(shù)。

    (二)數(shù)列極限

    1.極限概念；

    2.收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性，單調(diào)性；

    3.數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準(zhǔn)則，迫斂性法則。

    要求：逐步透徹理解和掌握數(shù)列極限的概念；掌握并能運(yùn)用-N語言處理極限問題；掌握收斂數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界函數(shù)和迫斂性定理)，并能運(yùn)用；了解數(shù)列極限柯西準(zhǔn)則,了解子列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；了解無窮小數(shù)列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系.

    (三)函數(shù)極限

    1.函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；

    2.函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；

    3.函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（Heine定理），柯西準(zhǔn)則；

    4.兩個重要極限；

    5.無窮小量與無窮大量，階的比較。

    要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念；掌握并能應(yīng)用-,-X語言處理極限問題；了解函數(shù)的單側(cè)極限，函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握兩個重要極限來處理極限問題。

    (四)函數(shù)連續(xù)

    1.函數(shù)連續(xù)的概念：一點(diǎn)連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類；

    2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運(yùn)算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；

    3.初等函數(shù)的連續(xù)性。

    要求：理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義及其證明，理解與掌握函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念；能正確敘述和簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。

    （五）導(dǎo)數(shù)與微分

    1.導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

    2.求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算)、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則）；

    3.微分：微分的定義，微分的運(yùn)算法則，微分的應(yīng)用；

    4.高階導(dǎo)數(shù)。

    要求：理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)的求法；了解導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用。

    （六）微分學(xué)基本定理

    1.中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

    2.幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；

    3.泰勒公式。

    要求：掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計(jì)算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開；能熟練地運(yùn)用羅必達(dá)法則求不定式的極限。

    （七）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

    1.函數(shù)的單調(diào)性與極值；

    2.函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn).

    要求：了解和掌握函數(shù)的某些特性(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點(diǎn))及其判斷方法，能利用函數(shù)的特性解決相關(guān)的實(shí)際問題。

    (八）實(shí)數(shù)完備性定理及應(yīng)用

    1、實(shí)數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界存在定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理；

    2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；

    3、上、下極限。

    要求：理解聚點(diǎn)的概念；了解實(shí)數(shù)連續(xù)性的幾個定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明；了解上、下極限的概念。

    （九）不定積分

    1.不定積分概念；

    2.換元積分法與分部積分法；

    3.幾類可化為有理函數(shù)的積分；

    要求：理解原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。

    （十）定積分

    1.定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；

    2.可積性條件：可積的必要條件和充要條件，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；

    3.微積分學(xué)基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

    4.非正常積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念；瑕積分的收斂與發(fā)散的概念。

    要求：理解定積分概念及函數(shù)可積的條件；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計(jì)算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用定義判斷某些廣義積分的收斂性。

    （十一）定積分的應(yīng)用

    1.定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長與微分；

    2.定積分在物理上的應(yīng)用：功、液體壓力、引力。

    要求：重點(diǎn)掌握定積分的幾何應(yīng)用；了解定積分在物理上的應(yīng)用；理解并掌握"微元法"。

    （十二）數(shù)項(xiàng)級數(shù)

    1.級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；

    2.正項(xiàng)級數(shù)：比較原理，達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

    3.一般項(xiàng)級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

    要求：理解無窮級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)；能夠應(yīng)用正項(xiàng)級數(shù)與任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法判斷級數(shù)的斂散性；熟悉幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)。

    （十三）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

    1.一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準(zhǔn)則，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

    2.一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）。

    要求：掌握收斂域、極限函數(shù)與和函數(shù)一致斂等概念；了解極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)。

    （十四）冪級數(shù)

    1.冪級數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；

    2.幾種常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開與泰勒定理。

    要求：了解冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)及函數(shù)的可展成冪級數(shù)等概念；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)；會求冪級數(shù)的收斂半徑與一些冪級數(shù)的收斂域；會把一些函數(shù)展開成冪級數(shù)，包括會用間接展開法求函數(shù)的泰勒展開式。

    （十五）多元函數(shù)極限與連續(xù)

    1.平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念；

    2.二元函數(shù)的極限、累次極限；

    3.二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。

    要求：理解平面點(diǎn)集、多元函數(shù)的基本概念；理解二元函數(shù)的極限、累次極限、連續(xù)性概念，會計(jì)算一些簡單的二元函數(shù)極限；了解多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    （十六）多元函數(shù)的微分學(xué)

    1.可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性；

    2.多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；

    3.方向?qū)?shù)與梯度；

    4.極值。

    要求：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及極值等概念及其計(jì)算；弄清全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；會求函數(shù)的極值、最值。

    （十七）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

    1.隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；

    2.隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式；

    3.幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

    要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在定理，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解隱函數(shù)組的概念及隱函數(shù)組定理，會求隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；會求條件極值。

    （十八）重積分

    1.二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)；

    2.二重積分的計(jì)算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標(biāo)變換）；

    3.含參變量的積分；

    4.三重積分計(jì)算：化三重積分為累次積分,換元法（柱面坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換）；

    5.重積分應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動慣量；

    6.含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準(zhǔn)則，與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì)；

    要求：熟練掌握二重、三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算及基本應(yīng)用；了解含參變量定積分的概念與性質(zhì)；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；了解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理。

    （十九）曲線積分與曲面積分

    1.第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計(jì)算；

    2.第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系；

    3.格林公式，曲線積分與路線的無關(guān)性,全函數(shù)；

    4.曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計(jì)算，兩類曲面積分的關(guān)系;

    5.高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關(guān)性。

    要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算；了解兩類曲線積分的關(guān)系和兩類曲面積分的關(guān)系；熟練掌握格林公式的證明及其應(yīng)用，會利用高斯公式、斯托克斯公式計(jì)算一些曲面積分與曲線積分。

    （二十）行列式

    1.n階行列式的定義和性質(zhì)；

    2.行列式按行（列）展開的公式；

    3.拉普拉斯定理；

    4.克蘭姆法則。

    要求：理解行列式的概念，行列式的性質(zhì)，掌握行列式的計(jì)算方法，克蘭姆法則的運(yùn)用。

    （二十一）線性方程組

    1.線性方程組的消元法；

    2.n維向量的概念、運(yùn)算、性質(zhì)；

    3.向量組的線性相關(guān)性；

    4.矩陣的秩，線性方程組有解的判別法；

    5.線性方程組的解結(jié)構(gòu)。

    要求：能熟練運(yùn)用消元法解線性方程組，掌握矩陣的秩、向量組的秩及極大線性無關(guān)組的求法，掌握向量組的線性相關(guān)性的基本概念和結(jié)論，矩陣秩的相關(guān)概念和方法。能夠熟練利用向量組的有關(guān)知識分析討論關(guān)于線性方程組的一些問題并能正確使用有解判別法。

    （二十二）矩陣

    1.矩陣的運(yùn)算、性質(zhì)；

    2.可逆矩陣的概念、性質(zhì)，逆矩陣的求法；

    3.矩陣的分塊運(yùn)算、應(yīng)用；

    4.初等矩陣與初等變換的關(guān)系，用初等變換求逆矩陣的方法。

    要求：能熟練地進(jìn)行矩陣的運(yùn)算，熟悉矩陣乘積的行列式及秩的定理，掌握可逆矩陣的概念、性質(zhì)、初等變換和初等矩陣的關(guān)系。掌握矩陣分塊的應(yīng)用及用初等變換求逆矩陣的方法。

    （二十三）矩陣的對角化

    1.相似矩陣的概念及性質(zhì)；

    2.矩陣的特征值與特征向量；

    3.矩陣可對角化的條件；

    4.向量的內(nèi)積、正交矩陣；

    5.實(shí)對稱矩陣的對角化。

    要求：熟悉相似矩陣的概念及性質(zhì)；掌握矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)及求法；理解矩陣可對角化的條件，熟練掌握一般矩陣對角化和實(shí)對稱矩陣的對角化的方法，會用矩陣對角化方法解決實(shí)際問題。

    （二十四）二次型

    1.二次型的定義及表示，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型；

    2.標(biāo)準(zhǔn)型的唯一性；

    3.正定二次型的定義及判定。

    要求：熟悉二次型的幾種表示方法，知道二次型經(jīng)過非退化線性替換仍變?yōu)槎涡鸵约扒昂髢蓚€二次型的關(guān)系，掌握二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法，理解實(shí)二次型的規(guī)范形的唯一性，掌握實(shí)二次型正定的判別方法

    （二十五）線性空間

    1.線性空間的定義和性質(zhì)；

    2.向量組的線性相關(guān)性、基、維數(shù)和坐標(biāo)，基變換和坐標(biāo)變換；

    3.子空間、子空間的交與和、直和。

    要求：理解線性空間的概念和性質(zhì)，初步了解公理化思想方法，理解基、維數(shù)、坐標(biāo)和子空間的概念，掌握基、維數(shù)、坐標(biāo)的求法，基變換公式和坐標(biāo)變換公式，了解維數(shù)公式的應(yīng)用。

    （二十六）線性變換

    1.線性變換的定義、性質(zhì)和運(yùn)算；

    2.線性變換和矩陣的關(guān)系；

    3.特征值、特征向量；

    4.對角化問題。

    要求：理解線性變換、相似、特征值與特征向量，值域與核以及不變子空間等概念，了解線性變換與矩陣的關(guān)系及可對角化的條件。

    （二十七）多項(xiàng)式

    1.數(shù)域及一元多項(xiàng)式的概念和運(yùn)算；

    2.多項(xiàng)式的整除性、帶余除法、最大公因式；

    3.多項(xiàng)式的因式分解、重因式、多項(xiàng)式函數(shù)及多項(xiàng)式的根；

    4.復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解。

    要求：理解一元多項(xiàng)式的有關(guān)概念，掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算，最大公因式和有理根的求法，了解互素，有無重因式的判別方法，能初步運(yùn)用一元多項(xiàng)式的基本概念、基本理論和基本方法解決多項(xiàng)式中的一些問題。

    三、考試基本題型

    主要題型可能有：判斷題、填空題、計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題，敘述題等。考試方式為閉卷、筆試。考試時間為180分鐘。試卷滿分為150分（其中數(shù)學(xué)分析90分，高等代數(shù)60分）。

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