2021北京理工大學高等代數(shù)專業(yè)研究生考試大綱 正文

847 高等代數(shù)
1．考試內(nèi)容
1. 一元多項式理論：最大公因式與因式分解，重因式，不可約多項式，復數(shù)域上的不可約多項式，實數(shù)域上的不可約多項式，有理系域上的不可約多項式，多元多項式環(huán)。
2. 行列式：行列式的定義，行列式的計算及性質(zhì)，Laplace展開定理。
3. 線性方程組理論：Cramer法則，Gauss消元法，維向量的線性相（無）關性，向量組的秩和矩陣的秩，線性方程組有解的判別，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。
4. 矩陣：矩陣的混合運算，方陣的行列式，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，正交矩陣，歐幾里得空間。
5. 矩陣的相抵與相似：矩陣的相抵，廣義逆矩陣，矩陣的相似，矩陣的特征值和特征向量，矩陣可對角化的條件，實對稱矩陣的對角化。
6. 二次型：二次型及其標準形，實二次形的規(guī)范形，正定二次型與正定矩陣。
7. 線性空間：線性空間的結(jié)構(gòu)，子空間以及子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)，商空間。
8. 線性映射：線性映射及其運算，線性映射的核與象，線性映射的矩陣表示，線性變換的特征值與特征向量，線性變換的不變子空間，Hamilton-Cayle定理，線性變換的最小多項式，冪零變換的結(jié)構(gòu)，線性變換的Jordan標準形，線性函數(shù)與對偶空間。
9. 具有度量的線性空間：雙線性函數(shù)，歐幾里得空間，正交補和正交投影，正交變換與對稱變換，酉空間。
 
2．考試要求
①了解：代數(shù)基本定理，復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解定理，高斯引理，廣義逆矩陣，線性空間的同構(gòu)，正交變換。
②理解：Laplace展開定理，n維向量的線性相（五）關性，矩陣的秩，矩陣的可逆性，實二次型的分類，線性空間的維數(shù)，線性變換的值域與核，線性變換的Jordan標準形。
③掌握：行列式的計算，線性方程組解的判別、求解及解的結(jié)構(gòu)，求可逆矩陣的逆矩陣，利用分塊方法計算矩陣，求標準正交基，矩陣的對角化，實對稱矩陣的對角化，化簡二次型的方程，二次形的正（負）定性判別，求線性空間的維數(shù)與基底，基變換與坐標變換，子空間的交與和，子空間的直和，求線性變換的不變子空間，Hamilton-Cayle定理，線性變換的最小多項式，冪零變換的結(jié)構(gòu)，線性變換的Jordan標準形，求線性映射的矩陣表示，線性映射的特征值與特征向量，雙線性函數(shù)，正交變換與對稱變換，
3．參考書目
1.《高等代數(shù)》（第二版，上冊），丘維聲，高等教育出版社，2002年7月
2.《高等代數(shù)》（第二版，下冊），丘維聲，高等教育出版社，2003年8月
 

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