2021北京航空航天大學(xué)891數(shù)學(xué)專業(yè)綜合研究生考試大綱

發(fā)布時(shí)間：2020-12-18 編輯：考研派小莉 推薦訪問(wèn)：
2021北京航空航天大學(xué)891數(shù)學(xué)專業(yè)綜合研究生考試大綱

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2021北京航空航天大學(xué)891數(shù)學(xué)專業(yè)綜合研究生考試大綱 正文

891 數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課考試大綱
請(qǐng)考生注意：
1、數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課試題含常微分方程、近世代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三門課程的內(nèi)容，
考生可任選其中二門課程的試題解答，多選無(wú)效。
2、每門課試題滿分 75 分。
常微分方程考試大綱
一、基本內(nèi)容與要求
(一) 初等積分法
1、
熟練掌握變量可分離方程、可化為變量分離方程的類型、一階線性方程與常數(shù)變易法、
全微分方程與積分因子等的解法。掌握一階隱方程與參數(shù)表示。
2、 會(huì)應(yīng)用降階法解某些高階方程。
3、 會(huì)建立簡(jiǎn)單的微分方程模型。
(二) 線性方程和線性方程組
1、 掌握線性微分方程(組)的一般理論.
2、 掌握常系數(shù)線性微分方程(組)的解法.
3、 能應(yīng)用線性方程(組)解的結(jié)構(gòu)對(duì)方程的解做簡(jiǎn)單定性分析.
4、 了解二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法和 Laplace 方法。
5、 會(huì)應(yīng)用二階常系數(shù)線性方程分析振動(dòng)現(xiàn)象。
6、會(huì)求二階微分方程組的奇點(diǎn)及其類型
(三) 基本定理
1、掌握初值問(wèn)題的存在、唯一性定理和解的延拓及解關(guān)于初值的連續(xù)、可微性定理
2、掌握解的存在、唯一性定理及證明。
2
近世代數(shù)考試大綱
一、基本內(nèi)容與要求
(一)基本概念
1、理解集合與映射的概念，掌握集合之間的運(yùn)算，能夠在集合之間建立映射關(guān)系，并判
斷兩個(gè)映射是否相同。
2、掌握代數(shù)運(yùn)算與映射的關(guān)系，能夠建立有限集合之間的運(yùn)算表，并判斷給定的運(yùn)算是
否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。
3、掌握同態(tài)映射、同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射（滿同態(tài)）的關(guān)系，
并能判定映射是否是同態(tài)滿射（滿同態(tài)），掌握具有同態(tài)滿射（滿同態(tài)）的集合之間的聯(lián)系。能
夠判定給定的映射和運(yùn)算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個(gè)集合之間的同構(gòu)映射。
4、理解關(guān)系和等價(jià)關(guān)系的概念，掌握等價(jià)關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，熟練判定給定的
關(guān)系是否是等價(jià)關(guān)系。并熟悉剩余類的基本特性，能夠建立整數(shù)間給定模的剩余類。
(二) 群論
1、掌握群的等價(jià)定義和例子，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無(wú)
限群、群的階和交換群的概念。充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，
能熟練掌握群與階的關(guān)系，會(huì)計(jì)算群元素的階。
2、理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握一個(gè)群的自同構(gòu)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的
有關(guān)性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的像也是單位元，元 a 的逆元的像是 a 的像的逆元。
3、掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質(zhì)與特點(diǎn)，熟練掌握剩余類加群，并能
證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為 n 的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。
4、熟練掌握變換的符號(hào)的運(yùn)用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，
且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個(gè)群都同一個(gè)變換群同構(gòu)的
定理的證明。掌握元素求逆等運(yùn)算。
5、理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個(gè) n 元置換都可以寫成若干個(gè)互相沒有共
同數(shù)字（不相連）的循環(huán)置換（輪換）的乘積的證明與運(yùn)用。理解有限群與置換群的同構(gòu)關(guān)系。
6、掌握子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找
出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的
關(guān)系。
7、掌握陪集的定義，以及與等價(jià)關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的關(guān)系，
并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素?cái)?shù)的群一定為循環(huán)群的證明。
8、 掌握不變子群（正規(guī)子群）的定義，能掌握一個(gè)群的子群是不變子群（正規(guī)子群）的
充分必要條件的定理，理解商群的定義，能證明一個(gè)群同它的每一個(gè)商群同態(tài)的定理，了解核
的定義，掌握兩個(gè)具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群（正規(guī)子群）的象的性質(zhì)。并能將子3
群或不變子群（正規(guī)子群）的性質(zhì)運(yùn)用到循環(huán)群、變換群等群之中。
9、掌握 sylow 定理的應(yīng)用。
(三) 環(huán)與域
1、理解交換環(huán)的定義和例子，熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì)并能熟練運(yùn)用。掌握消
去律與零因子的關(guān)系。
2、了解除環(huán)的定義，能舉出域的例子，除環(huán)與加群、乘群的關(guān)系。熟悉無(wú)零因子環(huán)中的
計(jì)算規(guī)則，掌握無(wú)零因子環(huán)中特征的性質(zhì)
3、理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的
性質(zhì)，了解多項(xiàng)式成環(huán)，熟悉多項(xiàng)式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無(wú)關(guān)未定元的作用。
4、掌握理想的定義，理解理想的構(gòu)成，以及零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成，能判斷
一個(gè)子環(huán)是否為理想，和理想是否為主理想。了解什么是最大理想，且和剩余類環(huán)的關(guān)聯(lián)。
5、 掌握沒有零因子的交換環(huán)一定是一個(gè)域的子環(huán)，了解商域的構(gòu)成，并掌握同構(gòu)的環(huán)的
商域也同構(gòu)的定理。理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。
6、理解歐氏環(huán)的定義，理解歐氏環(huán)、整數(shù)環(huán)都是主理想環(huán)與唯一分解環(huán)的證明，并能證明
域一定是一個(gè)歐氏環(huán)。
4
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試大綱
一、基本內(nèi)容與要求
(一) 概率論
1、理解隨機(jī)事件和樣本空間的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運(yùn)算；理解并熟練掌握概率的
古典定義；理解幾何概率，概率的統(tǒng)計(jì)定義及公理化定義；熟練掌握概率的基本性質(zhì)，會(huì)用于
計(jì)算；理解并掌握條件概率的定義，事件獨(dú)立性。熟練掌握乘法公式、全概率公式與貝葉斯公
式及其應(yīng)用；熟練掌握 Bernoulli 概型。
2、理解隨機(jī)變量的概念；理解并熟練掌握分布函數(shù)、分布律、概率密度等概念及其性質(zhì)，
掌握分布函數(shù)與分布律，分布函數(shù)與概率密度之間的關(guān)系；掌握二項(xiàng)分布、Poisson 分布、均
勻分布、指數(shù)分布，熟練掌握正態(tài)分布，會(huì)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表；熟練掌握隨機(jī)變量函數(shù)分布的
求法。
3、熟練掌握隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差及其求法。掌握特征函數(shù)的定義及性質(zhì)，特征函數(shù)
與期望和方差之間的關(guān)系，理解反演公式和唯一性定理。
4、理解二維隨機(jī)變量及其分布的定義，會(huì)求邊緣分布，掌握隨機(jī)變量的獨(dú)立性；掌握二維
隨機(jī)變量期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)；理解條件分布和條件數(shù)學(xué)期望；會(huì)求二維
隨機(jī)變量函數(shù)的分布；理解二維隨機(jī)變量特征函數(shù)及其性質(zhì)；了解三維及三維以上隨機(jī)變量的
定義和分布； 掌握 n 維正態(tài)分布定義及性質(zhì)，χ2-分布、t-分布和 F-分布。
5、理解大數(shù)定律和中心極限定理的統(tǒng)計(jì)背景，意義及其應(yīng)用，了解依概率 1 收斂，依概率
收斂及依分布收斂的意義和相互關(guān)系。
(二) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)
1、掌握數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念；熟練掌握矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法；熟練掌握無(wú)偏估計(jì)、
有效估計(jì)和相合估計(jì)；熟練掌握區(qū)間估計(jì)定義及其意義。
2、充分理解和掌握 Neyman-Pearson 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法；熟練掌握正態(tài)總體參數(shù)假
設(shè)檢驗(yàn)方法。
北京航空航天大學(xué)

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