常微分方程

 

    一、考查目標(biāo)

 

    常微分方程課程是進(jìn)一步學(xué)習(xí)本學(xué)科后續(xù)課程必不可少的一門課程。它是數(shù)學(xué)學(xué)科聯(lián)系實(shí)際的重要途徑之一。本科目主要考查考生對(duì)常微分方程的基本概念和基本理論的理解程度；分析和求解一階微分方程、高階線性微分方程、線性微分方程組的能力；以及對(duì)自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的基本理論的掌握程度。

 

    二、試卷結(jié)構(gòu)

 

    1、題型結(jié)構(gòu)

 

    解答題（100分），共計(jì)100分。

 

    3、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

 

    一階微分方程的初等積分法（約占40%）、高階線性微分方程（約占30%）、線性微分方程組（約占20%）、非線性微分方程（約占10%）。

 

    三、考試內(nèi)容和要求

 

    1、一階微分方程的初等積分法

 

    理解微分方程的基本概念；掌握一階顯式常微分方程的基本類型的判別和解法（包括變量分離法、常數(shù)變易法、恰當(dāng)方程與積分因子法）；理解一階隱式微分方程的四種類型求解的基本思路，并掌握其基本解法；了解一階微分方程解的存在唯一性定理及解對(duì)初值的連續(xù)依賴性與可微性等相關(guān)定理。

 

    2、高階線性微分方程

 

    了解高階線性微分方程初值問(wèn)題解的存在唯一性定理；理解n階線性齊次微分方程與n階線性非齊次微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)；掌握特征根法求解n階常系數(shù)線性齊次方程與比較系數(shù)法求解n階常系數(shù)線性非齊次方程。

 

    3、線性微分方程組

 

    了解線性微分方程組解的存在唯一性定理，熟悉用向量和矩陣的形式表示線性微分方程組；理解齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；掌握基本解組、基解矩陣、矩陣指數(shù)的概念和關(guān)系；理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；會(huì)利用常系數(shù)線性齊次微分方程組系數(shù)矩陣的特征值、特征向量求基解矩陣；了解常系數(shù)非齊次微分方程組的求解方法。

 

    4、非線性微分方程

 

    了解非線性微分方程穩(wěn)定性的概念和理論，包括按線性近似決定穩(wěn)定性和李雅普諾夫函數(shù)法判定穩(wěn)定性等；掌握二階自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性。

 

    四、推薦書目：

 

    1、王高雄等，《常微分方程，第三)》，高等教育出版社，2006

 

    2、韓祥臨等，《常微分方程簡(jiǎn)明教程》，浙江大學(xué)出版社，2013

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