常微分方程

 

    一、考查目標

 

    常微分方程課程是進一步學習本學科后續(xù)課程必不可少的一門課程。它是數(shù)學學科聯(lián)系實際的重要途徑之一。本科目主要考查考生對常微分方程的基本概念和基本理論的理解程度；分析和求解一階微分方程、高階線性微分方程、線性微分方程組的能力；以及對自治系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性的基本理論的掌握程度。

 

    二、試卷結(jié)構(gòu)

 

    1、題型結(jié)構(gòu)

 

    解答題（100分），共計100分。

 

    3、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

 

    一階微分方程的初等積分法（約占40%）、高階線性微分方程（約占30%）、線性微分方程組（約占20%）、非線性微分方程（約占10%）。

 

    三、考試內(nèi)容和要求

 

    1、一階微分方程的初等積分法

 

    理解微分方程的基本概念；掌握一階顯式常微分方程的基本類型的判別和解法（包括變量分離法、常數(shù)變易法、恰當方程與積分因子法）；理解一階隱式微分方程的四種類型求解的基本思路，并掌握其基本解法；了解一階微分方程解的存在唯一性定理及解對初值的連續(xù)依賴性與可微性等相關(guān)定理。

 

    2、高階線性微分方程

 

    了解高階線性微分方程初值問題解的存在唯一性定理；理解n階線性齊次微分方程與n階線性非齊次微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)；掌握特征根法求解n階常系數(shù)線性齊次方程與比較系數(shù)法求解n階常系數(shù)線性非齊次方程。

 

    3、線性微分方程組

 

    了解線性微分方程組解的存在唯一性定理，熟悉用向量和矩陣的形式表示線性微分方程組；理解齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；掌握基本解組、基解矩陣、矩陣指數(shù)的概念和關(guān)系；理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；會利用常系數(shù)線性齊次微分方程組系數(shù)矩陣的特征值、特征向量求基解矩陣；了解常系數(shù)非齊次微分方程組的求解方法。

 

    4、非線性微分方程

 

    了解非線性微分方程穩(wěn)定性的概念和理論，包括按線性近似決定穩(wěn)定性和李雅普諾夫函數(shù)法判定穩(wěn)定性等；掌握二階自治系統(tǒng)平衡點的類型及穩(wěn)定性。

 

    四、推薦書目：

 

    1、王高雄等，《常微分方程，第三)》，高等教育出版社，2006

 

    2、韓祥臨等，《常微分方程簡明教程》，浙江大學出版社，2013

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