2022南京郵電大學(xué)高等代數(shù)碩士研究生考研考試大綱
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2022南京郵電大學(xué)高等代數(shù)碩士研究生考研考試大綱 正文
814--《高等代數(shù)》考研大綱一、基本要求
要求考生全面系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論,熟練掌握高等代數(shù)的基本思想和基本方法。要求考生具有較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。
二、考試范圍
(一)多項(xiàng)式
1.多項(xiàng)式的帶余除法及整除性、最大公因式、互素多項(xiàng)式;
2.不可約多項(xiàng)式、因式分解唯一性定理、重因式、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定;
3.多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根、代數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法、根與系數(shù)的關(guān)系。
(二)行列式
1.行列式的定義及性質(zhì),行列式的子式、余子式及代數(shù)余子式;
2.行列式按一行、列的展開定理、Cramer法則、Laplace定理和行列式乘法定理、Vandermonde行列式;
3.運(yùn)用行列式的性質(zhì)及展開定理等計(jì)算行列式。
(三)線性方程組
1.Gauss消元法與初等變換;
2.向量組的線性相關(guān)性、向量組的秩與極大線性無關(guān)組、矩陣的秩;
3.線性方程組有解的判別定理與解的結(jié)構(gòu)。
(四)矩陣
1.矩陣的基本運(yùn)算、矩陣的分塊及常用分塊方法;
2.矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的等價(jià)、矩陣的跡、方陣的多項(xiàng)式;;
3.逆矩陣、矩陣可逆的條件及與矩陣的秩和初等矩陣之間的關(guān)系,伴隨矩陣及其性質(zhì);
4.運(yùn)用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。
(五)二次型理論
1.二次型及其矩陣表示、矩陣的合同、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形、慣性定理;
2.實(shí)二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法;
3.實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定的定義、判別法及其應(yīng)用。
(六)線性空間
1.線性空間、子空間的定義與性質(zhì),向量組的線性相關(guān)性,線性(子)空間的基、維數(shù)、向量關(guān)于基的坐標(biāo),基變換與坐標(biāo)變換,線性空間的同構(gòu);
2.子空間的基擴(kuò)張定理,生成子空間,子空間的和與直和、維數(shù)公式;
3.一些常見的子空間,如線性方程組的解空間、矩陣空間、多項(xiàng)式空間、函數(shù)空間。
(七)線性變換
1.線性變換的定義、性質(zhì)與運(yùn)算,線性變換的矩陣表示,矩陣的相似、同一個(gè)線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系;
2.矩陣的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式及其性質(zhì)、線性變換及其矩陣的特征值和特征向量的概念和計(jì)算、特征子空間、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì);
3.線性變換的不變子空間、核、值域的概念、關(guān)系及計(jì)算;
4.Hamilton-Caylay定理、矩陣可相似對(duì)角化的條件與方法、線性變換矩陣的化簡、Jardan標(biāo)準(zhǔn)形。
(八)λ-矩陣
1.λ-矩陣的初等變換、標(biāo)準(zhǔn)型,λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關(guān)系;
2.λ-矩陣的等價(jià)與數(shù)字矩陣的相似;
3.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的的理論推導(dǎo)。
(九)歐氏空間
1.內(nèi)積與歐氏空間的定義及性質(zhì),向量的長度、夾角、距離,正交矩陣,歐氏空間的同構(gòu),正交子空間與正交補(bǔ);
2.歐氏空間的度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、線性無關(guān)向量組的Schmidt正交化方法;
3.正交變換與正交矩陣的等價(jià)條件,對(duì)稱變換的概念與性質(zhì);
4.實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化的求法;最小二乘法、初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換。
南京郵電大學(xué)
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