牡丹江師范學(xué)院2021年

    碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱

    科目代碼、名稱:809高等代數(shù)

    專業(yè)類別：■學(xué)術(shù)型□專業(yè)學(xué)位

    適用專業(yè):0701數(shù)學(xué)

    一、考試要求

    高等代數(shù)是我校數(shù)學(xué)學(xué)科研究生入學(xué)考試初試考試科目。通過考試測試考生的高等代數(shù)理論知識基礎(chǔ)和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力，以保證所錄取的考生具有較好的代數(shù)基礎(chǔ)素養(yǎng)。

    第一章多項式

    1.理解數(shù)域的基本概念；會判別某集合對于給定運算是否構(gòu)成數(shù)域；

    2.掌握一元多項式的基本概念與性質(zhì)；

    3.掌握一元多項式整除的定義，性質(zhì)及帶余除法。

    4.掌握一元多項式最大公因式的定義，性質(zhì)，輾轉(zhuǎn)相除法，及多項式互素的定義和性質(zhì)，會判別多項式互素；

    5.掌握一般數(shù)域上一元多項式的因式分解理論，會求解在有理數(shù)域，實數(shù)域及復(fù)數(shù)域上的因式分解問題；

    6.掌握一元多項式的重根，重因式及不可約多項式的相關(guān)定義與性質(zhì)，熟練掌握余數(shù)定理，并會用其求多項式的根。

    7.理解高斯引理，熟練掌握多項式有有理根的判別法，會Eisenstein判別法判別多項式是不可約的。

    第二章行列式

    1.理解n級行列式的定義，掌握行列式的基本性質(zhì)，會求行列式的值；

    2.理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換的定義；

    3.熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式、克萊姆(Cramer)法則、拉普拉斯(Laplace)定理。

    第三章線性方程組

    1.理解消元法的基本理論，掌握n維向量空間、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩等基本概念與基本理論；

    2.學(xué)會判斷線性方程組是否有解、有解時有多少解、并會求線性方程組的通解；

    3.熟練掌握線性方程組解的存在性條件與解的結(jié)構(gòu)。

    第四章矩陣

    1.理解矩陣的定義及矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)律，并能熟練地應(yīng)用；

    2.掌握矩陣乘積的行列式與秩的相關(guān)性質(zhì)定理；

    3.掌握逆矩陣的概念、矩陣可逆的判定，會求可逆矩陣的逆矩陣；

    4.理解分塊矩陣的定義，計算法則及運算規(guī)律，掌握分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用。

    第五章二次型

    1.理解二次型的概念及二次型與對稱矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系，及矩陣合同的定義；

    2.掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；

    3.掌握復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上二次型的規(guī)范形及唯一性定理，會化二次型為規(guī)范形，掌握慣性定理。

    4.理解正定二次型與正定矩陣的概念和判別法。

    第六章線性空間

    1．理解線性空間的概念及有關(guān)定義：包括線性相關(guān)、線性無關(guān)、維數(shù)、基、坐標(biāo)、子空間、子空間的交與和、子空間的直和、余子空間等；

    2．掌握線性空間的簡單性質(zhì)及基變換和坐標(biāo)變換公式；

    3．掌握子空間的判別法，理解生成子空間的概念并掌握生成子空間的集合形式；

    4．掌握維數(shù)公式及其證明方法并能靈活應(yīng)用；掌握常用的幾個子空間直和的判別法；

    5．理解線性空間的同構(gòu)映射和線性空間同構(gòu)的概念，掌握同構(gòu)映射的基本性質(zhì)。

    第七章線性變換

    1．理解線性變換的概念，掌握線性變換的基本性質(zhì)及運算；

    2．會求線性變換在一組基下的矩陣，掌握矩陣相似定義及性質(zhì)。

    3．理解線性變換的特征值與特征向量的概念和n階方陣的特征多項式，特征值與特征向量的概念，會求有限維線性空間中線性變換的特征值、特征向量；

    4．掌握n維線性空間的一個線性變換可對角化的一些充分條件與充要條件，在滿足可對角化時能將矩陣化成對角形；

    5．理解線性變換的值域、核、秩和零度等概念及相關(guān)定理，掌握不變子空間的定義；

    6.理解矩陣的最小多項式的定義和性質(zhì)，會求矩陣的最小多項式。

    第八章–矩陣

    1.理解-矩陣的定義及其性質(zhì)、-矩陣的初等變換、-矩陣的初等矩陣、-矩陣等價以及-矩陣在初等變換下的等價標(biāo)準(zhǔn)形的概念；

    2.理解-矩陣的行列式因子、不變因子等基本概念，熟練掌握-矩陣的行列式因子與不變因子之間的關(guān)系，掌握-矩陣等價的條件；

    3.掌握數(shù)字矩陣的初等因子和線性變換的初等因子的基本概念，掌握矩陣的初等因子與矩陣的不變因子、行列式因子之間的關(guān)系，以及數(shù)字矩陣之間相似的充要條件；

    4.理解若爾當(dāng)型矩陣的定義，及矩陣相似于若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的理論、會求矩陣相似的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

    第九章歐幾里得空間

    1.理解內(nèi)積及歐氏空間的概念及向量長度和兩個向量的夾角的概念；

    2．理解n維歐氏空間中基的度量矩陣及由此而確定的歐氏空間的內(nèi)積，掌握度量矩陣的性質(zhì)與不同基的度量矩陣之間的關(guān)系；

    3．理解正交組、標(biāo)準(zhǔn)正交組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念，切實掌握施密特（Schimidt）正交化方法；

    4．掌握歐氏空間同構(gòu)和正交變換的概念及正交變換的幾個等價刻畫，掌握正交矩陣的定義及性質(zhì)，理解子空間正交與正交補的概念，

    6．理解對稱變換的概念；切實掌握求正交陣，使實對稱矩陣正交相似于對角陣的方法；掌握用正交線性替換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

    二、考試內(nèi)容

    參考書目：《高等代數(shù)》，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，第四版，高等教育出版社，北京，2013.

    注：本文中“章”、“節(jié)”均指以上參考書目中的“章”、“節(jié)”

    1)多項式（第一章1-9節(jié)）

    2)行列式（第二章1-8節(jié)）

    3)線性方程組（第三章1-6節(jié)）

    4)矩陣（第四章1-7節(jié)）

    5)二次型（第五章1-4節(jié)）

    6)線性空間（第六章1-8節(jié)）

    7)線性變換（第七章1-9節(jié)）

    8)-矩陣（第八章1-6節(jié)）

    9)歐幾里得空間（第九章1-6節(jié)）

    三、試卷結(jié)構(gòu)（包括考試時間、總分、考試方式、題型、分?jǐn)?shù)比例等）

    考試時間：180分鐘

    總分：150分

    考試方式：筆試，閉卷

    題型：（1）選擇題或填空題40分；（2）解答題（計算題和簡答題）60分；（3）證明題50分

    四、學(xué)院審核意見

    主管領(lǐng)導(dǎo)簽字：單位公章：

    注：“總分”按照各自命題科目分值具體情況添寫。

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