2022年重慶郵電大學(xué)理學(xué)院碩士研究生考試《實變函數(shù)》大綱及參考書目

發(fā)布時間：2021-09-02 編輯：考研派小莉推薦訪問：

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2022年重慶郵電大學(xué)理學(xué)院碩士研究生考試《實變函數(shù)》大綱及參考書目正文

《實變函數(shù)（J061）》考試大綱

命題方式	招生單位自命題	科目類別	加試
滿分	100
考試性質(zhì) 同等學(xué)力加試
考試方式和考試時間
試卷結(jié)構(gòu) 試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu) 集合論約 20％測度論約 20% 積分論約 30％微分與不定積分約 30% 試卷題型結(jié)構(gòu)單項選擇題填空題解答題（包括證明題）
考試內(nèi)容和要求第一章集合 1. 知識點:集合的概念和運算，對等與基數(shù)，可數(shù)與不可數(shù)集合，曹恩引理 2. 考核要求: 1）掌握集合交，并、余等運算和上、下極限的定義和基本運算；2）熟練掌握集合的對等的定義與性質(zhì)；能熟練應(yīng)用伯恩斯坦（Bernstein）定理證明集合的對等關(guān)系；3）理解基數(shù)的定義；掌握可數(shù)集與不可數(shù)集的性質(zhì)，會判斷給定的集合是否可數(shù)。第二章點集 1. 知識點：度量空間，聚點、內(nèi)點和界點，開集、閉集、完備集極其構(gòu)造。 2. 考核要求：1）理解和掌握度量空間的定義，鄰域的性質(zhì)，有界點集的定義和 n 維區(qū)間的體積；2）熟練掌握 n 維區(qū)間點的關(guān)系，聚點、內(nèi)點和界點的定義聚點與等價條件；3）掌握開核、邊界和導(dǎo)集的概念和性質(zhì)極其相互關(guān)系；4）理解和掌握開集、閉集和完備集的性質(zhì)；5）理解開集的構(gòu)成區(qū)間與余區(qū)間，了解開集、閉集的構(gòu)造；熟練掌握康托爾集的構(gòu)成和性質(zhì)。第三章測度論 1. 知識點: 約當測度，Lebesgue 外測度和內(nèi)測度，可測集 2. 考核要求: 1）測度的定義和性質(zhì)；2）掌握 Lebesgue 外測度和內(nèi)測度的定義和基本性質(zhì)；3）熟練掌握Caratheodory 給出可測集的定義及可測集的基本運算性質(zhì)；4）掌握零測集的性質(zhì)；開集、閉集的可測性； 5）約當測度與 Lebesgue 測度的關(guān)系；6）了解特殊的兩類集合，波雷耳集。第四章可測函數(shù) 1. 知識點：可測函數(shù)及其性質(zhì)，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，依測度收斂。 2. 考核要求：1）熟練掌握可測函數(shù)及其四則運算，可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系，幾乎處處成立的概念； 2）理解葉果洛夫定理； 3）理解并掌握魯津定理及其逆定理；4）熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反例，Riese 定理和 Lebesgue 收斂定理

第五章積分論
1. 知識點：Riemann 積分，勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質(zhì)，一般可積函數(shù)，積分的極限定理
2. 考核要求：1）了解由確界式定義的 Riemann 積分，及 Riemann 積分的缺陷；
2）理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件；可積的四則運算，勒貝格積分與 Riemann 積分的關(guān)系；3）熟練掌握勒貝格積分的基本性質(zhì)和絕對連續(xù)性； 4）熟練掌握一般可積函數(shù)的 L 積分的定義和初等性質(zhì)。5）牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項積分定理，積分的可數(shù)可加性，F(xiàn)atou 引理及有關(guān)積分與求導(dǎo)交換的定理。
第六章微分與不定積分
1. 知識點：單調(diào)函數(shù)的可微性，有界變差函數(shù)，不定積分，斯蒂爾切斯（Stieltjes）積分
2. 考核要求：1）理解單調(diào)函數(shù)不連續(xù)點集的特點，掌握單調(diào)函數(shù)的微分定理。 2）掌握有界變差函數(shù)的定義及性質(zhì)。3）深入理解單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系。 4）理解絕對連續(xù)函數(shù)定義與性質(zhì)，以及它與有界變差函數(shù)的關(guān)系。 5）掌握領(lǐng)會 L 積分意義下的牛頓一萊布尼茲公式，掌握絕對連續(xù)函數(shù)與不定積分之間的關(guān)系。 6）了解黎曼-斯蒂爾切斯積分與勒貝格-斯蒂爾切斯測度與積分概念。

參考書目
1、程其襄等編，實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版），高等教育出版社，2009.
2、鄭維行、王聲望，實變函數(shù)與泛函分析概要，高等教育出版社 2002.

備注

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