2022中國地質(zhì)大學(武漢)數(shù)學分析研究生考研大綱及參考書目 正文

碩士研究生入學考試《數(shù)學分析》考試大綱
一、考試性質(zhì)
　　數(shù)學分析是數(shù)學專業(yè)本科生的基礎(chǔ)課程之一，是數(shù)學專業(yè)研究生入學考試的必考課程。本考試大綱適用于中國地質(zhì)大學研究生院數(shù)學系碩士研究生入學《數(shù)學分析》考試。它的主要目的是測試考生對數(shù)學分析各項內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力。
二、考試的基本要求
　　要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
三、考試方法和考試時間
　　數(shù)學分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
四、考試內(nèi)容和考試要求
　　1、極限和函數(shù)的連續(xù)性
　　考試主要內(nèi)容
　　映射與函數(shù)；數(shù)列的極限、函數(shù)的極限；連續(xù)函數(shù)、函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性；中的點集、實數(shù)系的連續(xù)性；函數(shù)和連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)。
　　考試要求
　?。?）熟練掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；理解無窮小量的概念及基本性質(zhì)。
　?。?）掌握極限的性質(zhì)及四則運算性質(zhì)，能夠熟練運用兩面夾原理和兩個特殊極限。
　?。?）熟練掌握實數(shù)系的基本定理：區(qū)間套定理，確界存在定理，單調(diào)有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆蓋定理，Cauchy收斂準則；并理解相互關(guān)系。
　?。?）熟練掌握函數(shù)連續(xù)性的概念及相關(guān)的不連續(xù)點類型。能夠運用函數(shù)連續(xù)的四則運算與復合運算性質(zhì)以及相對應(yīng)的；并理解兩者的相互關(guān)系。
　?。?）熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理；了解Contor定理。
　　2、一元函數(shù)微分學
考試主要內(nèi)容
微分的概念、導數(shù)的概念、微分和導數(shù)的意義；求導運算；微分運算；微分中值定理；洛必達法則、泰勒展式公式；導數(shù)的應(yīng)用。
考試要求
（1）理解導數(shù)和微分的概念及其相互關(guān)系，理解導數(shù)的幾何意義和物理意義，理解函數(shù)可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
（2）熟練掌握函數(shù)導數(shù)與微分的運算法則，包括高階導數(shù)的運算法則、復合函數(shù)求導法則，會求分段函數(shù)的導數(shù)。
（3）熟練掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。
（4）能夠用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，最值和凸凹性。
（5）掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。
3、一元函數(shù)積分學
考試主要內(nèi)容
定積分的概念、性質(zhì)和微積分基本定理；不定積分和定積分的計算；定積分的應(yīng)用；廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。
考試要求
（1）理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的積分。
（2）掌握定積分的概念，包括Darboux和，上、下積分及可積條件與可積函數(shù)類。
（3）掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。
（4）能用定積分表達和計算如下幾何量與物理量：
平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積，平行截面面積已知的立體體積，變力做功和物體的質(zhì)量與質(zhì)心。
（5）理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法；其中包括積分第二中值定理。
4、無窮級數(shù)
考試主要內(nèi)容
數(shù)項級數(shù)的概念、數(shù)項級數(shù)斂散的判別法；級數(shù)的絕對收斂和條件收斂；函數(shù)項級數(shù)的收斂和一致收斂及其性質(zhì)、收斂性的判別；冪級數(shù)及其性質(zhì)、泰勒級數(shù)和泰勒展開。
考試要求
（1）理解數(shù)項級數(shù)斂散性的概念，掌握數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)。
（2）熟練掌握正項級數(shù)斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy判別法，D‘Alembert判別法與積分判別法。
（3）熟練掌握任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系。熟練掌握交錯級數(shù)的Leibnitz判別法。掌握絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)。
（4）熟練掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法。Abel判別法、Cauchy判別法和Dirichlet判別法。
（5）掌握冪級數(shù)及其收斂半徑的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。
（6）熟練掌握冪級數(shù)的性質(zhì)。能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為冪級數(shù)。理解余項公示。
（7）了解Fourier級數(shù)的概念與性質(zhì)。
5、多元函數(shù)微分學與積分學
考試主要內(nèi)容
多元函數(shù)的極限與連續(xù)、全微分和偏導數(shù)的概念、重積分的概念及其性質(zhì)、重積分的計算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和判別。
考試要求
（1）理解多元函數(shù)極限與連續(xù)性，偏導數(shù)和全微分的概念，會求多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分。
（2）掌握隱函數(shù)存在定理。
（3）會求多元函數(shù)極值和無條件極值，了解偏導數(shù)的幾何應(yīng)用。
（4）掌握重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計算。
（5）熟練掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其應(yīng)用。
6、含參變量積分
考試主要內(nèi)容
含參變量積分的概念、性質(zhì)。
考試要求
（1）了解含參變量常義積分的概念與性質(zhì)。
（2）熟練掌握變上限積分。

中國地質(zhì)大學(武漢)

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