2022年西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院碩士研究生考試科目《數(shù)學(xué)分析》考試大綱及參考書目 正文

一、考核要求
數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)核心課程，是學(xué)生學(xué)習(xí)分析學(xué)系列課程及數(shù)學(xué)專業(yè)其它后繼課程的重要基礎(chǔ)，也為高觀點下深入理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容所必需。數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容有：極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)及級數(shù)理論。數(shù)學(xué)分析中的極限思想十分重要，它幾乎貫穿了數(shù)學(xué)分析及其它與分析相關(guān)的自然學(xué)科的始終。數(shù)學(xué)分析課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學(xué)生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，考核學(xué)生是否具有嚴(yán)密的
邏輯推理能力，考核學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決某些實際問題的能力。

二、考核評價目標(biāo)
數(shù)學(xué)分析課程重點考核學(xué)生對理論基礎(chǔ)知識掌握的情況及分析解決某些實際問題能力。通過考核，選拔出具有較好的數(shù)學(xué)功底的學(xué)生來攻讀數(shù)學(xué)學(xué)科的碩士研究生?？己嗽u價目標(biāo)應(yīng)使錄取的研究生具有較扎實與系統(tǒng)的從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)以及計算數(shù)學(xué)等的進一步學(xué)習(xí)及科研工作所需的數(shù)學(xué)分析知識。

三、考核內(nèi)容
第一章極限
第一節(jié)實數(shù)集與函數(shù)
考核不等式、集合、映射、函數(shù)、初等函數(shù)、領(lǐng)域、上確界、下確界的定義，會進行集合運算和函數(shù)的各種表示，能分析函數(shù)的有界性、奇偶性、單調(diào)性和周期性，熟悉確界原理。
第二節(jié) 數(shù)列極限
考核數(shù)列、數(shù)列極限的定義、無窮小數(shù)列，收斂數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列極限的四則運算，單調(diào)數(shù)列及單調(diào)有界定理，Cauchy列及收斂準(zhǔn)則。
第三節(jié) 函數(shù)極限
考核函數(shù)極限的定義、性質(zhì)、四則運算、與數(shù)列極限的關(guān)系，單側(cè)極限、Cauchy收斂原理，兩個重要極限，無窮小量與無窮大量及關(guān)系。
第四節(jié) 連續(xù)函數(shù)
充分領(lǐng)會函數(shù)極限、連續(xù)的定義、領(lǐng)會函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系和Cauchy收斂原理、一致連續(xù)的概念，能應(yīng)用函數(shù)極限、連續(xù)的定義分析、論證，能用無窮小量對極限進行分析，區(qū)別無窮小量能否進行代換的條件，區(qū)分不連續(xù)點的類型。
第五節(jié) 實數(shù)基本定理
能綜合應(yīng)用確界定理，單調(diào)有界定理，區(qū)間套定理進行證明，應(yīng)用收斂子列定理和Cauchy收斂定理進行基本證明。
第二章 一元函數(shù)微分學(xué)
第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)和微分
會應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義、四則運算法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)，能綜合應(yīng)用各種方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
第二節(jié) 微分中值定理及應(yīng)用
領(lǐng)會微分中值定理、Taylor公式的深刻意義，能用微分中值定理進行分析、論證，能將函數(shù)展開成Taylor多項式和其余項之和，能綜合使用Hospital法則及Taylor公式求函數(shù)及數(shù)列的極限。能綜合應(yīng)用函數(shù)的凸性、單調(diào)性（利用導(dǎo)數(shù)）及中值定理分析和解決問題。
第三章 一元函數(shù)積分學(xué)
第一節(jié) 積分的計算、性質(zhì)及應(yīng)用
綜合應(yīng)用各種方法，（包括定義、基本公式、線性性質(zhì)、換元積分法、分部積分法）能計算出一般函數(shù)的積分；重點掌握定積分的概念，Darboux和概念等；掌握可積的充要條件，可積函數(shù)類，定積分的性質(zhì)，微積分基本定理和求面積、弧長、體積和側(cè)面積，了解微元法及其應(yīng)用。
第二節(jié) 反常積分
掌握反常積分斂散性的定義，奇點，了解Cauchy主值和反常積分收斂的關(guān)系，掌握一些重要的反常積分收斂和發(fā)散的例子，理解并掌握絕對收斂和條件收斂的概念并能用反常積分的Cauchy收斂原理、非負函數(shù)反常積分的比較判別法、Cauchy判別法，以及一般函數(shù)反常積分的Abel、Dirichlet判別法判別基本的反常積分，熟練應(yīng)用積分第二中值定理。
第四章 級數(shù)
第一節(jié) 數(shù)項級數(shù)
準(zhǔn)確理解斂散性概念、級數(shù)收斂的必要條件和其它性質(zhì)，熟練地求一些級數(shù)的和；準(zhǔn)確理解上極限與下極限的概念及其性質(zhì)，熟練地求上極限與下極限；熟練利用正項級數(shù)的收斂原理，比較判別法，Cauchy、D`Alembert判別法及其極限形式，Raabe判別法和積分判別法判別正項級數(shù)的斂散性；準(zhǔn)確理解Leibniz級數(shù)，熟練利用Leibniz級數(shù)，Abel、Dirichlet判別法判別一般級數(shù)的斂散性。
第二節(jié)函數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)
重點理解點態(tài)收斂、一致收斂和內(nèi)閉一致收斂，函數(shù)列一致收斂的判別法；能熟練應(yīng)用函數(shù)項級數(shù)的Cauchy收斂原理，Weierstrass判別法，Abel、Dirichlet判別法，掌握一致收斂級數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可積性；重點掌握用Cauchy-Hadamard、D`Alembert求冪級數(shù)收斂半徑，可以利用冪級數(shù)可導(dǎo)和可積性求冪級數(shù)的和，掌握函數(shù)冪級數(shù)展開的條件，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開。
第三節(jié) 傅里葉級數(shù)
熟練掌握函數(shù)的Fourier級數(shù)展開；綜合分析Fourier級數(shù)的斂散性；理解并合理利用Fourier級數(shù)的分析性質(zhì)和逼近性質(zhì)；掌握Fourier變換的性質(zhì)及其在理論分析和實際計算中的應(yīng)用；掌握快速Fourier變換的應(yīng)用。
第五章 多元函數(shù)微分學(xué)
第一節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)
考核Descartes乘積集，內(nèi)積及其性質(zhì)，Euclid空間，Euclid范數(shù)，Rn的極限，有界集，內(nèi)點，邊界點，孤立點，聚點，開集和閉集及其關(guān)系，閉包，理解閉矩形套定理， Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收斂定理，緊集及其Heine-Borel定理；掌握多元函數(shù)的定義，多元函數(shù)的重極限和二次極限及其關(guān)系，多元函數(shù)的連續(xù)，了解向量值函數(shù)及其極限、連續(xù)等性質(zhì)；理解緊集上的連續(xù)映射概念，緊集上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值定理、一致連續(xù)性定理、中間值定理，掌握連通集和區(qū)域等概念。
第二節(jié) 多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用
重點掌握偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)，全微分，連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)和高階全微分，了解混合偏導(dǎo)數(shù)的相等，向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；掌握多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒捌鋺?yīng)用，了解一階全微分的形式不變性。
第三節(jié) 隱函數(shù)定理及應(yīng)用
考核隱函數(shù)定理及其應(yīng)用，會計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；掌握無條件極值與條件極值的求法。
第六章 多元函數(shù)積分學(xué)
第一節(jié) 重積分
理解重積分與反常重積分的概念；了解二重積分的可積函數(shù)類與性質(zhì)；熟練掌握二重積分、n重積分及反常重積分的算法；掌握二重積分與n重積分的變量代換；理解有向面積及微分形式的概念。
第二節(jié) 曲線積分和曲面積分
綜合分析第一、二類曲線積分與曲面積分的概念與計算；掌握Green公式、Gauss公式和Stokes公式及其應(yīng)用；理解梯度、通量與散度、向量線、環(huán)量與旋度的概念及簡單應(yīng)用；分析微分形式的外微分及其應(yīng)用。
第三節(jié) 含參變量積分
熟練掌握含參變量的常義積分的定義及分析性質(zhì)；熟練掌握含參變量的反常積分的一致收斂的判別法及一致收斂積分的分析性質(zhì)；掌握Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的性質(zhì)、遞推公式及二者之間的關(guān)系。

參考書目：
1. 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《數(shù)學(xué)分析》（上，下），高等教育出版社，2001年（第三版））。
2. 陳紀(jì)修，於崇華，金路，《數(shù)學(xué)分析》（上，下），高等教育出版社，2000年（第一版）。
3. 裴禮文，《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，高等教育出版社，2006年（第二版）。
4. 劉三陽，于力，李廣民，《數(shù)學(xué)分析選講》，科學(xué)出版社，2007年（第一版）。

西北師范大學(xué)

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