2021石家莊鐵道大學(xué)高等代數(shù)研究生考試大綱 正文

《高等代數(shù)》考試大綱

一、考試的總體要求
高等代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計算科學(xué)專業(yè)和統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，通過考試，考察學(xué)生對本課程的基本理論、基本方法和基本技能的掌握程度，考察學(xué)生抽象思維、邏輯推理的能力，應(yīng)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力，通過各學(xué)科綜合平衡，選拔優(yōu)秀學(xué)生入學(xué)深造。
二、考試的內(nèi)容及考查比例
第一章、多項式（7%）
1．理解數(shù)域，多項式，整除，最大公因式，互素，不可約，k重因式，重因式的概念；了解多項式環(huán)，本原多式，字典排序法，對稱多項式，初等對稱多項式，齊次多項式，多項式函數(shù)等概念。
2．掌握整除的性質(zhì)，帶余除法定理，最大公因式定理，互素的判別與性質(zhì)，不可約多項式的判別與性質(zhì)，多項式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代數(shù)基本定理，高斯引理，Eisenstein判別定理，對稱多項式基本定理。
3．掌握無重因式的充要條件，判別條件，復(fù)數(shù)域、實數(shù)域及有理數(shù)域上多項式因式分解理論，有理多項式的有理根范圍。
4．熟練運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法，綜合除法。
第二章、行列式（5%）
1．了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代數(shù)余子式的概念。
2．掌握行列式的性質(zhì)，按行、列展開定理，Gramer法則，Laplace定理，行列式乘法公式。
3．熟練運(yùn)用行列式的性質(zhì)及展開定理計算行列式，掌握計算行列式的基本方法。
第三章、線性方程組（10%）
1．理解向量線性相關(guān)，向量組等價，極大無關(guān)組，向量組的秩，矩陣的秩，基礎(chǔ)解系，解空間等概念。
2．掌握線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu)。
3．熟練運(yùn)用行初等變換求解線性方程組的方法。
第四章、矩陣（15%）
1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱陣、反對稱陣的概念及其性質(zhì)。
2．掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律。
3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充要條件。理解伴隨矩陣的概念，掌握伴隨矩陣的性質(zhì)。
4．掌握矩陣的初等變換、掌握初等矩陣的性質(zhì)，理解矩陣等價的概念，熟練運(yùn)用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。
5．理解分塊矩陣，掌握分塊陣的運(yùn)算及初等變換。
第五章、二次型（5%）
1．理解二次型的概念及二次型的矩陣表示，了解二次型秩的概念，掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念及慣性定律。
2．掌握用合同變換、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。
3．掌握二次型和對應(yīng)矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定及其判別法。
第六章、線性空間（20%）
1．理解線性空間，子空間，生成子空間，基底，維數(shù)，坐標(biāo)，過渡矩陣，子空間的和與直和等概念。了解線性空間同構(gòu)的概念。
2．掌握基擴(kuò)張定理，維數(shù)公式，掌握直和的充要條件。
3．熟練運(yùn)用概念求基底，維數(shù)，坐標(biāo)，過渡矩陣。
第七章、線性變換（18%）
1．理解線性變換，特征值，特征向量，特征多項式，特征子空間，不變子空間，線性變換的矩陣，相似變換，相似矩陣，線性變換的值域與核，Jardan標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項式等概念。
2．掌握線性變換的性質(zhì)，相似矩陣的性質(zhì)，特征值、特征向量的性質(zhì)，核空間與值域的性質(zhì)，不變子空間的性質(zhì)。掌握Hamilton-Cayley定理及將線性空間V分解成A–不變子空間的條件和方法，了解最小多項式理論。
3．熟練運(yùn)用線性變換的矩陣表示方法，求線性變換的特征值、特征向量的方法，矩陣可相似對角化的條件與方法。掌握線性變換與矩陣“互化”的思想方法，會用各種特殊子空間解決相關(guān)問題。
第八章、--矩陣（5%）
1．理解--矩陣的秩，可逆--矩陣，--矩陣的初等變換，行列式因子，不變因子，初等因子等概念，了解--矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。
2．掌握--矩陣可逆的充要條件，--矩陣等價的充要條件，數(shù)字矩陣相似的充要條件，了解Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)。
3．會求--矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及不變因子。會求數(shù)字矩陣的Jodan標(biāo)準(zhǔn)形。
第九章、歐幾里得空間（15%）
1．掌握內(nèi)積，歐氏空間，向量長度、夾角、距離、度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交補(bǔ)、正交變換、正交陣、對稱變換、同構(gòu)等概念。
2．掌握Schmidt正交化方法。掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)，正交變換的性質(zhì)，正交陣的性質(zhì)，對稱變換的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)形。
3．掌握實對稱陣的特征值、特征向量的性質(zhì)。熟練運(yùn)用正交相似變換將實對稱陣相似（合同）對角化。

石家莊鐵道大學(xué)

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