上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2015年考研數(shù)學(xué)分析考試大綱 正文

601 數(shù)學(xué)分析
《數(shù)學(xué)分析》考試是為招收數(shù)學(xué)各專業(yè)學(xué)生而設(shè)置的具有選拔功能的業(yè)務(wù)水平考試。它的主要目的是測(cè)試考生對(duì)數(shù)學(xué)分析各項(xiàng)內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題的能力。

一、考試基本要求
要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知
識(shí)分析問題和解決問題的能力。

二、考試方法和考試時(shí)間
數(shù)學(xué)分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 180 分鐘。

三、考試主要內(nèi)容和考試要求
（一）極限和函數(shù)的連續(xù)性
1、考試主要內(nèi)容
映射與函數(shù)；數(shù)列的極限、函數(shù)的極限； 連續(xù)函數(shù)、函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性；R 中的點(diǎn)集、實(shí)數(shù)系的連續(xù)性；函數(shù)和連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)。
2、考試要求
（1）透徹理解和掌握數(shù)列極限，函數(shù)極限的概念。掌握并能運(yùn)用ε-N，ε-X，ε-δ語(yǔ)言處理極限問題。熟練掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；理解無窮小量的概念及基本性質(zhì)。
（2）熟練掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用兩面夾原理和熟練掌握兩個(gè)重要極限來處理極限問題。。
（3）熟練掌握實(shí)數(shù)系的基本定理：區(qū)間套定理，確界存在定理，單調(diào)有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel 有限覆蓋定理，Cauchy 收斂準(zhǔn)則；并理解相互關(guān)系。
（4）熟練掌握函數(shù)連續(xù)性的概念及相關(guān)的不連續(xù)點(diǎn)類型。能夠運(yùn)用函數(shù)連續(xù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)以及相對(duì)應(yīng)的；并理解兩者的相互關(guān)系。函數(shù)連續(xù)性的定義(點(diǎn)，區(qū)間)，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念。
（5）熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理；了解 Contor定理。
（二）一元函數(shù)微分學(xué)
1、考試主要內(nèi)容
微分的概念、導(dǎo)數(shù)的概念、微分和導(dǎo)數(shù)的意義；求導(dǎo)運(yùn)算；微分運(yùn)算；微分中值定理；洛必達(dá)法則、泰勒展式；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
2、考試要求
（1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其相互關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
（2）熟練掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則，包括高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。
（3）熟練掌握 Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理以及 Taylor 展式。
（4）能夠用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，最值和凸凹性。
（5）掌握用洛必達(dá)法則求不定式極限的方法。
（三）一元函數(shù)積分學(xué)
1、考試主要內(nèi)容
定積分的概念、性質(zhì)和微積分基本定理；不定積分和定積分的計(jì)算；定積分的應(yīng)用；廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。
2、考試要求
（1）理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會(huì)求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的積分。
（2）掌握定積分的概念，包括 Darboux 和，上、下積分及可積條件與可積函數(shù)類。
（3）掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。
（4）能用定積分表達(dá)和計(jì)算如下幾何量與物理量：平面圖形的面積，平面曲線的弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積，平行截面面積已知的立體體積，變力做功和物體的質(zhì)量與質(zhì)心。
（5）理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，Abel 判別法和Dirichlet 判別法；積分第二中值定理。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂等概念；.能用收斂性判別法判斷某些反常積分的收斂性。
（四）無窮級(jí)數(shù)
1、考試主要內(nèi)容
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的判別法；級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和一致收斂及其性質(zhì)、收斂性的判別；冪級(jí)數(shù)及其性質(zhì)、泰勒級(jí)數(shù)和泰勒展開。
2、考試要求
（1）理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的概念，掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。
（2）熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy 判別法，D‘Alembert判別法與積分判別法。
（3）熟練掌握任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系。熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的 Leibnitz 判別法。掌握絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。
（4）熟練掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的 Weierstrass 判別法。Abel 判別法、Cauchy 判別法、Dirichlet 判別法和 Dini 判別法。熟練掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的性質(zhì)及其應(yīng)用。
（5）掌握冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑的概念，包括 Cauchy-Hadamard 定理和 Abel 第一定理。
（6）熟練掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為冪級(jí)數(shù)。理解余項(xiàng)公式。
（7）掌握三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)；能正確地?cái)⑹龈道锶~級(jí)數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)并簡(jiǎn)單的應(yīng)用。
（五）多元函數(shù)微分學(xué)與積分學(xué)
1、考試主要內(nèi)容
多元函數(shù)的極限與連續(xù)、全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念、重積分的概念及其性質(zhì)、重積分的計(jì)算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和判別。
2、考試要求
（1）理解平面及 n R 空間點(diǎn)集的基本概念，多元函數(shù)的極限，累次極限，連續(xù)性概念；了解閉集套定理，有限覆蓋定理。掌握多元函數(shù)極限、連續(xù)與一致連續(xù)概念及其性質(zhì)，偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)和全微分等概念以及和連續(xù)關(guān)系，會(huì)求多元函數(shù)的極限、偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)和全微分。
（2）掌握隱函數(shù)存在定理。會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；會(huì)求曲線的切線方程，法平面方程，
曲面的切平面方程和法線方程
（3）會(huì)求多元函數(shù)極值和無條件極值，了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用。
（4）了解可求面積、體積概念。熟練掌握重積分（包括廣義的）、兩類曲線積分和兩類曲面積分的概念與計(jì)算，會(huì)求圖形的面積，體積及物體的質(zhì)量與重心。
（5）熟練掌握 Gauss 公式、Green 公式和 Stoks 公式及其應(yīng)用。
（6）形式微分。
（六）含參變量積分
1、考試主要內(nèi)容
含參變量積分的概念、性質(zhì)。
2、考試要求
（1）熟練掌握含參變量常義積分的概念與性質(zhì)以及應(yīng)用。
（2）熟練掌握變上限積分。
（3）Euler 積分。

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