第一部分 目標(biāo)與基本要求

1.掌握數(shù)理方程的基本概念、了解數(shù)理方程的發(fā)展歷史，掌握科學(xué)的思想和方法；

2.掌握數(shù)理方程的基本方法，具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)能力、邏輯思維能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,養(yǎng)成認(rèn)真、求實(shí)、勤奮良好的教學(xué)科研精神與學(xué)風(fēng)；

3.掌握數(shù)理方程的基本理論，培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯推理能力以及運(yùn)算能力，養(yǎng)成反思和獨(dú)立思考的習(xí)慣，為后繼課程學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；

4.培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型的能力以及綜合運(yùn)用數(shù)理方程知識(shí)去分析和解決問題的能力，體會(huì)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的簡潔性與深刻性，提高數(shù)學(xué)思維能力和科學(xué)素養(yǎng)，具備一定的科學(xué)研究能力。培養(yǎng)反思及自主學(xué)習(xí)能力。

第二部分具體內(nèi)容

一、緒論

1.基本概念與典型方程的導(dǎo)出 

2.定解條件與定解問題 

3.定解問題的適定性、線性疊加原理

了解建立三類典型方程的過程和物理背景; 理解定解問題的適定性、線性疊加原理；掌握數(shù)理方程的有關(guān)基本概念、定解條件和定解問題

二、二階線性數(shù)理方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型

1.兩個(gè)自變量方程的分類與化簡

2.多個(gè)自變量方程的分類 

了解多個(gè)自變量方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型；理解二階線性數(shù)理方程分類的思想與方法，特征方程與特征曲線的意義；掌握二階線性數(shù)理方程分類與標(biāo)準(zhǔn)型，常系數(shù)線性數(shù)理方程的進(jìn)一步化簡

三、波動(dòng)方程的初值問題與行波法

1.一維波動(dòng)方程的初值問題 

2.三維波動(dòng)方程的初值問題

3.二維波動(dòng)方程的初值問題

    4.依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域和特征錐

了解特征線法、依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域、波傳播的有關(guān)性質(zhì)和物理意義、三維和二維非齊次波動(dòng)方程初值問題和推遲勢；理解齊次化原理、半無界弦的延拓法、球面平均法、依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域；掌握D’Alembert公式、Kirchhoff公式、奇延拓與偶延拓求解半無界波動(dòng)方程定解問題、高維波動(dòng)方程初值問題的泊松公式、惠更斯原理、降維法

四、分離變量法

1.施圖姆-劉維爾特征值問題

2. 齊次方程和齊次邊界條件的定解問題 

3. 非齊次方程和齊次邊界條件的定解問題 

4. 非齊次邊界條件的處理

了解施圖姆-劉維爾特征值理論、高維波動(dòng)方程的分離變量法求解、帶有第三類邊界條件的定解問題的分離變量法求解；理解分離變量法的步驟、本征值問題及求解、二階非齊次常微分方程的求解（常數(shù)變易法與拉氏變換法）；掌握分離變量法求解齊次方程齊次邊界定解問題、本征函數(shù)法求解非齊次方程定解問題、非齊次邊界的處理、非齊次方程的齊次化

五、傅里葉變換

1.傅里葉變換的定義

2.傅里葉變換的性質(zhì) 

3.傅里葉變換的應(yīng)用

了解Fourier變換的物理意義；理解Fourier變換與逆變換、正弦變換與余弦變換、Fourier變換的性質(zhì)、卷積定理；掌握Fourier變換的計(jì)算、利用性質(zhì)求Fourier與逆變換、利用Fourier變換法求解數(shù)理方程定解問題

六、拉普拉斯變換

1.拉普拉斯變換的定義與性質(zhì)

2. 拉普拉斯變換的應(yīng)用

了解Laplace變換與Fourier的聯(lián)系與區(qū)別；理解Laplace變換的性質(zhì)、卷積定理；掌握Laplace變換的計(jì)算、利用性質(zhì)求Laplace變換與逆變換、利用Laplace變換法求解數(shù)理方程定解問題

七、格林函數(shù)法

1. 格林公式及其應(yīng)用 

2.格林函數(shù)及其性質(zhì) 

3.一些特殊區(qū)域上格林函數(shù)和拉普拉斯方程的Dirichlet問題的解

了解格林函數(shù)的基本思想、在常微分方程中的應(yīng)用；理解調(diào)和方程的基本解、格林第二公式、格林第三公式；掌握格林函數(shù)的導(dǎo)出及其性質(zhì)、格林函數(shù)的物理意義、鏡像法求解格林函數(shù)、利用格林函數(shù)法求解特殊區(qū)域上調(diào)和方程的Dirichlet問題。

第三部分  有關(guān)說明

1.基本要求：掌握數(shù)理方程中的基本概念，掌握處理問題分析的基本方法、基本原理，具有運(yùn)用數(shù)理方程解決實(shí)際問題的基本能力。

2.命題說明：分值比例：“了解”占15%，“理解”占40%，“掌握”占45%；題型為解答題和證明題。

3.參考書目:

（1）陳才生 主編, 李剛、周繼東、王文初 編. 數(shù)學(xué)物理方程. 北京: 科學(xué)出版社, 2008.

（2） 顧樵 編著. 數(shù)學(xué)物理方法. 北京: 科學(xué)出版社, 2012.

4. 其他規(guī)定：考試方式為閉卷筆試，總分100分，考試時(shí)間為120分鐘。本科目考試不得使用計(jì)算器。

 

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