2022年遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析(學(xué)科教學(xué))碩士研究生考研大綱及參考書目 正文

831《數(shù)學(xué)分析（學(xué)科教學(xué)）》考試大綱（專業(yè)學(xué)位）
注意：本大綱為參考性考試大綱，是考生需要掌握的基本內(nèi)容。
第一章  實(shí)數(shù)集與函數(shù)
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1. 實(shí)數(shù)
2. 數(shù)集·確界原理
3．函數(shù)概念
4．具有某些特性的函數(shù)
二．考核要求
1. 理解實(shí)數(shù)概念，掌握實(shí)數(shù)的小數(shù)表示及性質(zhì). 運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性、阿基米德性及封閉性論證有關(guān)問(wèn)題。
2. 理解并掌握鄰域概念及應(yīng)用。
3. 理解并掌握實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)及幾個(gè)常見(jiàn)不等式的應(yīng)用。  
4. 掌握實(shí)數(shù)集確界的概念及確界原理在有關(guān)問(wèn)題中的正確運(yùn)用。
5. 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。
6. 掌握復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、反函數(shù)、有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)和周期函數(shù)等概念，理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，并能利用函數(shù)的各種特性解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。
7. 識(shí)記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖形，理解初等函數(shù)的概念，會(huì)求初等函數(shù)定義域，分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。
 
第二章   數(shù)列極限
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．?dāng)?shù)列極限概念
2．收斂數(shù)列的性質(zhì)
3．?dāng)?shù)列極限存在的條件
二．考核要求
1. 掌握數(shù)列的收斂與發(fā)散的概念，會(huì)用定義證明數(shù)列極限有關(guān)問(wèn)題，并會(huì)用語(yǔ)言正確表述數(shù)列不以某數(shù)為極限。                                  
2. 理解并掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性、有界性、保號(hào)性、算術(shù)性質(zhì)、保不等式性質(zhì)性、迫斂性等。
3. 會(huì)用極限的四則運(yùn)算法則，迫斂性定理以及單調(diào)有界定理判斷數(shù)列的收斂性，并會(huì)利用它們求收斂數(shù)列的極限。                                              
4. 掌握數(shù)列極限存在的柯西準(zhǔn)則，并會(huì)利用它證明數(shù)列的收斂性。
5. 掌握數(shù)列子列的概念及致密性定理，會(huì)利用子列判斷數(shù)列的收斂性。
 
第三章   函數(shù)極限
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．函數(shù)極限概念
2．函數(shù)極限的性質(zhì)
3．函數(shù)極限存在的條件
4．兩個(gè)重要的極限
5．無(wú)窮大量與無(wú)窮小量
二．考核要求
1. 掌握函數(shù)極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。
2. 能運(yùn)用或語(yǔ)言證明與函數(shù)極限有關(guān)的命題，并會(huì)用或語(yǔ)言正確表述函數(shù)不以某定數(shù)為極限。                           
3. 理解并掌握函數(shù)極限基本性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)及四則運(yùn)算性質(zhì)。
4. 理解歸結(jié)原則（海涅定理）及柯西準(zhǔn)則，會(huì)利用它們判斷函數(shù)極限存在與否。                                  
5. 識(shí)記兩個(gè)重要極限（），能靈活運(yùn)用其求一些相關(guān)函數(shù)極限。     
6. 理解無(wú)窮小(大)量及其階的概念, 掌握無(wú)窮小(大)量階的比較，會(huì)用無(wú)窮小量求某些函數(shù)的極限,會(huì)求曲線的漸近線。

第四章  函數(shù)的連續(xù)性
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．連續(xù)性概念
2．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
3．初等函數(shù)的連續(xù)性
二．考核要求
1. 掌握函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)定義的幾種等價(jià)敘述，能夠利用定義判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性。
2. 會(huì)熟練準(zhǔn)確地求出一般初等函數(shù)或分段函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別其類型。
3. 理解并掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)（最值定理、有界性定理、介值性定理、根的存在定理），并能在相關(guān)問(wèn)題的證明或討論中正確運(yùn)用。
4. 理解初等函數(shù)的連續(xù)性，了解反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性. 會(huì)應(yīng)用連續(xù)性求極限。         
5. 理解函數(shù)一致連續(xù)性概念，并能判斷函數(shù)的一致連續(xù)性與否。
 
第五章  導(dǎo)數(shù)與微分
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．導(dǎo)數(shù)的概念
2．求導(dǎo)法則
3．參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
4．高階導(dǎo)數(shù)
5．微分
二．考核要求
1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義，利用定義法求函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程和法線方程， 用導(dǎo)數(shù)概念解決相關(guān)變化率的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。                   
2. 掌握函數(shù)可導(dǎo)的充要條件，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系. 熟記各類基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，綜合運(yùn)用求導(dǎo)的法則和方法熟練計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
3. 會(huì)求參變量函數(shù)、分段函數(shù)、隱函數(shù)及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。                                 
4. 理解函數(shù)微分的概念，用定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的微分，運(yùn)用基本公式和微分法則求初等函數(shù)的微分。                               
5. 理解導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系，增量與微分的關(guān)系，會(huì)用微分作近似計(jì)算。    
6. 理解高階導(dǎo)數(shù)與高階微分概念，明確二者的聯(lián)系，會(huì)用萊布尼茨公式求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與高階微分，理解一階微分形式的不變性并用其求復(fù)合函數(shù)的微分。
 
第六章 微分中值定理及其應(yīng)用
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性
2．柯西中值定理和不定式極限
3．泰勒公式
4．函數(shù)的極值與最大（?。┲?br /> 5．函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)
6. 函數(shù)圖象的討論
二．考核要求
1. 掌握羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理、達(dá)布導(dǎo)函數(shù)介值定理和泰勒（Taylor）定理 （帶幾種余項(xiàng)的）并熟練利用中值定理證明有關(guān)函數(shù)微分學(xué)的命題。
2. 掌握洛必達(dá)法則，靈活應(yīng)用洛必達(dá)法則求不定式的極限。
3. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。
4. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性， 會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖像。
 
第七章  實(shí)數(shù)的完備性
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1. 關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理
二．考核要求
1. 理解區(qū)間套、聚點(diǎn)、確界、覆蓋、子列等概念，會(huì)求點(diǎn)集的聚點(diǎn)、確界。
2. 理解實(shí)數(shù)基本定理并能準(zhǔn)確表述，明確其等價(jià)性。        
3. 應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)討論函數(shù)的有界性、最值性、證明方程根的存在性。
4. 函數(shù)一致連續(xù)性的判別及有關(guān)問(wèn)題的證明。
 
第八章  不定積分
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．不定積分概念與基本積分公式
2．換元積分法與分部積分法
3．有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分
二．考核要求
1. 理解原函數(shù)和不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的關(guān)系以及積分與微分的關(guān)系。   
2. 熟記基本積分公式，用線性運(yùn)算法則求不定積分。            
3. 用換元積分法和分部積分法或綜合運(yùn)用這幾種方法求不定積分。
4. 掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分的計(jì)算。                                                
5. 明確函數(shù)在定義區(qū)間存在原函數(shù)的條件，會(huì)判斷原函數(shù)的存在性。
 
第九章  定積分
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．定積分概念
2. 牛頓-萊布尼茨公式
3．可積條件
4. 定積分的性質(zhì)
3．微積分學(xué)基本定理·定積分的計(jì)算 
二．考核要求
1. 理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎(chǔ)上會(huì)用定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分。                              
2. 明確可積的必要條件、充要條件及可積函數(shù)類。          
3. 熟練地應(yīng)用定積分的性質(zhì)進(jìn)行積分的計(jì)算，積分值的大小比較、 求平均值及有關(guān)證明。                                      
4. 理解微積分學(xué)基本定理的實(shí)質(zhì)， 熟練運(yùn)用牛頓——萊布尼茨公式進(jìn)行有關(guān)積分的證明和計(jì)算。
5. 理解積分變上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)。
6. 會(huì)用換元積分法和分部積分法計(jì)算定積分。
 
第十章  定積分的應(yīng)用
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1. 平面圖形的面積
2. 由平行截面面積求體積
3. 平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率
4. 旋轉(zhuǎn)曲面的面積
二．考核要求
    1. 理解微元法的思想.
2. 用定積分解決某些幾何應(yīng)用問(wèn)題：平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、一些特殊立體的體積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積等的計(jì)算。
 
第十一章   數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．級(jí)數(shù)的收斂性
2．正項(xiàng)級(jí)數(shù)
3. 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)
二．考核要求
1. 理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本及收斂的必要條件，能用定義、性質(zhì)及收斂的必要條件判別級(jí)數(shù)的斂散性。
2. 掌握幾何級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。
3. 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的柯西判別準(zhǔn)則、比較判別法、比值判別法、根值判別法、積分判別法等。
4. 掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的萊布尼茨判別法。
5. 用狄利克雷判別法、阿貝爾判別法判斷某些級(jí)數(shù)的斂散性。
6. 掌握任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，理解絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。
 
第十二章  函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．一致收斂性
2．一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)
二．考核要求
1. 理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念及性質(zhì)。
2. 理解與掌握函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的概念和性質(zhì)的。    
3. 掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性與否的判別方法(柯西準(zhǔn)則、優(yōu)級(jí)數(shù)判別法、余項(xiàng)準(zhǔn)則、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法等)。                       
4. 掌握一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表示的函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性，并用這些性質(zhì)去解決有關(guān)問(wèn)題。
 
第十三章  冪級(jí)數(shù)
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．冪級(jí)數(shù)
2．函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開
二．考核要求
1. 理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。               
2. 熟記幾個(gè)常用初等函數(shù)的麥克勞林展開式，并利用其將某些初等函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。                                           
3. 理解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)， 并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。
 
第十四章   多元函數(shù)的極限與連續(xù)
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．平面點(diǎn)集與多元函數(shù)
2．二元函數(shù)的極限
3．二元函數(shù)的連續(xù)性
二．考核要求
1. 理解平面點(diǎn)集的有關(guān)概念，求函數(shù)的定義域并繪圖表示。     
2. 理解并掌握二元函數(shù)極限概念，明確重極限與累次極限的關(guān)系， 能借助累次極限解決極限有關(guān)問(wèn)題,說(shuō)明二元函數(shù)極限不存在的常用方法的應(yīng)用。                                            
3. 理解二元函數(shù)連續(xù)的概念，會(huì)利用連續(xù)性求初等函數(shù)的極限，掌握有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
 
第十五章   多元函數(shù)微分學(xué)
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．可微性
2．復(fù)合函數(shù)微分法
3．方向?qū)?shù)與梯度
4. 泰勒公式與極值問(wèn)題
二．考核要求
1. 深刻理解多元函數(shù)全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念及聯(lián)系，用定義求函數(shù)在指定點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù),討論函數(shù)的可微性，會(huì)求多元函數(shù)的全微分。
2. 理解并掌握函數(shù)的可微、連續(xù)、偏導(dǎo)存在與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間關(guān)系。
3. 掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，以及一些簡(jiǎn)單函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
4. 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念， 并掌握其計(jì)算方法。
5. 理解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。
6. 理解多元函數(shù)的泰勒公式。
7. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，理解多元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求簡(jiǎn)單的多元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值， 會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。
 
第十六章  曲線積分
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．第一型曲線積分
2．第二型曲線積分
二．考核要求
1. 熟練運(yùn)用兩類曲線積分的計(jì)算法求曲線積分。      
2. 用曲線積分的幾何意義及物理意義解決有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題。
 
第十七章  重積分
 一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．二重積分的概念
2. 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算
3．格林公式 • 曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性
4．二重積分的變量變換
5. 三重積分
6．重積分的應(yīng)用
二．考核要求
1. 理解重積分和累次積分的概念及性質(zhì)，會(huì)化重積分為累次積分。
2. 熟練掌握二重積分、三重積分的變量變換公式，會(huì)用直角坐標(biāo)變換和極坐標(biāo)變換求二重積分、用柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換求三重積分。
3. 掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。
4. 會(huì)用重積分計(jì)算曲面面積、體積等幾何量。
 
第十八章  曲面積分
一．考核知識(shí)點(diǎn)
1．第一型曲面積分
2．第二型曲面積分
3. 高斯公式與斯托克斯公式
二．考核要求
1. 熟練掌握第一型曲面積分和第二型曲面積分的計(jì)算。
2. 應(yīng)用高斯公式和斯托克斯公式計(jì)算曲面積分及空間曲線積分。
 
參考書目：數(shù)學(xué)分析，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編，高等教育出版社，2019年5月，第五版。
 

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