2021湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析專業(yè)研究生考試大綱 正文

一、考查目標(biāo)
數(shù)學(xué)分析科目考試內(nèi)容包括極限與連續(xù)、微分學(xué)、積分學(xué)和級(jí)數(shù)要求考生系統(tǒng)掌握相關(guān)內(nèi)容的基本知識(shí)、基礎(chǔ)理論、基本方法、基本計(jì)算，并能運(yùn)用相關(guān)理論和方法分析、解決實(shí)際問題。
二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
（一）試卷成績及考試時(shí)間
本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
（三）試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)
各部分內(nèi)容所占分值為：
  極限與連續(xù)    約40分
  一元微積分    約40分
  多元微積分    約40分
無窮級(jí)數(shù)      約30分
（四）試卷題型結(jié)構(gòu)
計(jì)算題：4小題，每小題15分，共60分
證明題：6小題，每小題15分，共90分
(五)主要參考書目
華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編：《數(shù)學(xué)分析》（上、下冊(cè)），高等教育出版社2010年。


三、考查范圍
（一）考查目標(biāo)
1、系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)分析原理的基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論和基本計(jì)算。
2、掌握和理解極限理論和方法，由此而產(chǎn)生的連續(xù)性、微分學(xué)、積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)。
3、能靈活運(yùn)用基本定理和基本方法證明問題，能靈活運(yùn)用基本公式計(jì)算問題，以及綜合運(yùn)用。
（二）考試內(nèi)容
一）集合與函數(shù)
1. 實(shí)數(shù)集、有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性，實(shí)數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理。
2. 上的距離、鄰域、聚點(diǎn)、界點(diǎn)、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的閉矩形套定理、聚點(diǎn)定理、有限復(fù)蓋定理、基本點(diǎn)列，以及上述概念和定理在上的推廣。
3. 函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關(guān)的性質(zhì)。
二）極限與連續(xù)
1. 數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)（極限唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性質(zhì)）。
2. 數(shù)列收斂的條件（Cauchy準(zhǔn)則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關(guān)系），極限及其應(yīng)用。
3.一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、保號(hào)性、不等式性質(zhì)、迫斂性），歸結(jié)原則和Cauchy收斂準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用，計(jì)算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號(hào)O與o的意義，多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關(guān)系。
4. 函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部有界性、保號(hào)性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù)性）。
三）一元函數(shù)微分學(xué)
1.導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的各種計(jì)算方法，微分及其幾何意義、可微與可導(dǎo)的關(guān)系、一階微分形式不變性。
2.微分學(xué)基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項(xiàng)與Lagrange余項(xiàng))。
3.一元微分學(xué)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應(yīng)用、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達(dá)（L'Hospital）法則、近似計(jì)算。
四）多元函數(shù)微分學(xué)
1. 偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導(dǎo)存在、連續(xù)之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)與順序無關(guān)性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。
2.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)（組）求導(dǎo)方法、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換。
3.幾何應(yīng)用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）。
4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法。
五）一元函數(shù)積分學(xué)
1. 原函數(shù)與不定積分、不定積分的基本計(jì)算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）、有理函數(shù)積分：型，型。
2. 定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件：）、可積函數(shù)類。
3. 定積分的性質(zhì)（關(guān)于區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對(duì)可積性、定積分第一中值定理）、變上限積分函數(shù)、微積分基本定理、N-L公式及定積分計(jì)算、定積分第二中值定理。
4.無限區(qū)間上的廣義積分、Canchy收斂準(zhǔn)則、絕對(duì)收斂與條件收斂、非負(fù)時(shí)的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法。
5. 微元法、幾何應(yīng)用（平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉(zhuǎn)體體積），及其它應(yīng)用。
六）多元函數(shù)積分學(xué)
1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計(jì)算（化為累次積分、極坐標(biāo)變換、一般坐標(biāo)變換）。
2.三重積分、三重積分計(jì)算（化為累次積分、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)變換）。
3.重積分的應(yīng)用（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）。
4.含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運(yùn)算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性，運(yùn)算順序的可交換性。
5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計(jì)算。
6.第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計(jì)算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。
7.曲面的側(cè)、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關(guān)系。
七）無窮級(jí)數(shù)
1. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
級(jí)數(shù)及其斂散性，級(jí)數(shù)的和，Cauchy準(zhǔn)則，收斂的必要條件，收斂級(jí)數(shù)基本性質(zhì)；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz判別法；一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet判別法。
2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性、Cauchy準(zhǔn)則、一致收斂性判別法（M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。
3.冪級(jí)數(shù)
冪級(jí)數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可積性、可微性及其應(yīng)用，冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開、Taylor級(jí)數(shù)、Maclaurin級(jí)數(shù)。
4.Fourier級(jí)數(shù)
三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2及2周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理。

湖北師范大學(xué)

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