2021長沙理工大學(xué)高等代數(shù)研究生參考書目及考試大綱

發(fā)布時(shí)間:2020-12-18 編輯:考研派小莉 推薦訪問:
2021長沙理工大學(xué)高等代數(shù)研究生參考書目及考試大綱

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2021長沙理工大學(xué)高等代數(shù)研究生參考書目及考試大綱 正文

科目代碼:837 科目名稱:高等代數(shù)
一、考試要求
1、掌握一元多項(xiàng)式相關(guān)概念,帶余除法,能求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式,因式分解定理,重因式,多項(xiàng)式的根在探討多項(xiàng)式的整除性與不可約性中的應(yīng)用,復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解,有理系數(shù)多項(xiàng)式的根及艾森斯坦因判別法。
2、理解行列式的概念和基本性質(zhì),掌握行列式展開定理及行列式的計(jì)算。
3、掌握向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)性、向量組的秩及矩陣的秩的概念,能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明,熟練掌握線性方程組有解的判別、線性方程組解的結(jié)構(gòu)及線性方程組的解法及有關(guān)證明。
4、掌握矩陣的概念及矩陣的運(yùn)算,矩陣乘積的行列式與秩的性質(zhì),矩陣可逆的充要條件,逆矩陣的求法,矩陣方程的求解,矩陣與分塊矩陣的初等變換及(廣義)初等矩陣在矩陣的行列式與秩的計(jì)算與證明中的應(yīng)用。
5、理解二次型及其矩陣表示、標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形及矩陣合同的概念,掌握實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的求法、慣性定理、二次型(矩陣)正定的等價(jià)條件及其在相關(guān)計(jì)算和證明中的應(yīng)用。
六、理解線性空間中關(guān)于維數(shù)、基與坐標(biāo)、基變換與坐標(biāo)變換、線性子空間、子空間的交與和及直和、線性空間的同構(gòu)的概念,掌握相關(guān)的計(jì)算和證明。
七、理解線性變換的定義、線性變換的運(yùn)算、線性變換的矩陣、線性變換(矩陣)特征值與特征向量、線性變換(矩陣)的對(duì)角化、線性變換的值域與核、不變子空間、最小多項(xiàng)式的概念及有關(guān)性質(zhì),掌握相關(guān)的計(jì)算和證明,掌握Hamlton-Cayley定理及其應(yīng)用。
八、理解λ-矩陣、λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形、不變因子、行列式因子、初等因子、Jordan塊與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、伴侶陣與有理標(biāo)準(zhǔn)形的概念及有關(guān)性質(zhì),掌握相關(guān)的計(jì)算和證明,掌握矩陣相似的條件,能求矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。
九、理解歐氏空間、度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換、對(duì)稱變換、子空間正交及正交補(bǔ)的概念及有關(guān)性質(zhì),掌握Schmit正交化標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法,掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)、用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形及實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化的相關(guān)計(jì)算與證明。
二、考試內(nèi)容
1、一元多項(xiàng)式,整除的概念,最大公因式,因式分解定理,重因式,多項(xiàng)式函數(shù),復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解,有理系數(shù)多項(xiàng)式。
 2、行列式的概念和基本性質(zhì),行列式展開定理,行列式的計(jì)算。
3、向量的概念,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)性,向量組的秩,矩陣的秩,線性方程組有解的判別,線性方程組解的結(jié)構(gòu),線性方程組的解法 。
4、矩陣的運(yùn)算,矩陣乘積的行列式與秩,矩陣的逆,矩陣的分塊,初等矩陣,分塊乘法的初等變換。
5、二次型及其矩陣表示,標(biāo)準(zhǔn)形及規(guī)范形,正定二次型。
6、線性空間的定義及簡單性質(zhì),維數(shù),基與坐標(biāo),基變換與坐標(biāo)變換,線性子空間,子空間的交與和及直和,線性空間的同構(gòu)。
7、線性變換的定義,線性變換的運(yùn)算,線性變換的矩陣,特征值與特征向量,對(duì)角矩陣,線性變換的值域與核,不變子空間,最小多項(xiàng)式。
8、λ-矩陣的定義,λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形,不變因子,行列式因子,初等因子,矩陣相似的條件,矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。
9、歐氏空間定義與基本性質(zhì),標(biāo)準(zhǔn)正交基,同構(gòu),正交變換,子空間,實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。
三、題型
試卷滿分為150分,其中:計(jì)算題占50%,證明題占50%。
四、參考教材
1.《高等代數(shù)》.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室編.王萼芳,石生明修訂,高等教育出版社,2003,第三版。
長沙理工大學(xué)

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